2022-02-17 17:29:27 +01:00
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\section{Kategorien und Beispiele}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{definition}
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2022-02-17 13:26:32 +01:00
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|
Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
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\begin{itemize}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
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\item
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Einer Kollektion
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(Klasse) $\Ob(\mathcat{A})$ von \textit{Objekten} von
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$\mathcat{A}$
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\item
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Für
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jedes Paar $A,B\in \Ob(\mathcat{A})$ eine Menge
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$\mathcat{A}(A,B)$ von
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\textit{Abbildungen, Morphismen} oder auch einfach \textit{Pfeilen} von $A$
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nach $B$
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\item
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Für alle $A,B,C\in \mathcat{A}$ eine Abbildung, genannt
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\textit{Komposition von Morphismen}:
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\begin{equation*}
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\begin{array}{c c l}
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\mathcat{A}(B,C)\times \mathcat{A}(A,B) & \longrightarrow & \mathcat{A}(A,C) \\
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|
(f,g) & \longmapsto & f\circ g
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\end{array}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
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|
\end{equation*}
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|
|
\item
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Für jedes $A\in \mathcat{A}$ einen
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\textit{Identitätsmorphismus}, notiert $1_{A}\in
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\mathcat{A}(A,A)$.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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|
\end{itemize}
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sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:
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\begin{itemize}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
\item
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|
\textit{Assziativität:}
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Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$, $g\in \mathcat{A}(B,C)$ und $h\in
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|
\mathcat{A}(C,D)$ ist
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\[
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h\circ (g\circ f) = (h\circ g) \circ f .
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\]
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\item
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\textit{Identität}
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Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$ ist $f\circ 1_{A} = f
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|
= 1_{B} \circ f $.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{itemize}
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|
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|
|
\end{definition}
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|
\begin{remark}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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|
Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in
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\mathcat{A}$ für
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$A\in \Ob(\mathcat{A})$ oder auch $f:A\to B$ für $f\in
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\mathcat{A}(A,B)$
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|
|
schreiben.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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|
\end{remark}
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|
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|
\begin{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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\item
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Wir werden Kategorien oft als \textit{kommutative Diagramme} darstellen, einfache
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|
Beispiele einer Kategorie könnte also so aussehen:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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A \ar{r}{f} \ar{dr}[swap]{g \circ f} & B \ar{d}{g} & & & \bullet
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\arrow[swap]{dl}{k \circ j } \arrow[swap]{d}{j}\arrow[]{r}{f} \arrow["gf = hj "
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|
description]{dr}{} & \bullet \arrow[]{d}{g} \\ & C & & \bullet &
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|
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|
|
\bullet\arrow[]{l}{k} \arrow[]{r}{h} & \bullet
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\end{tikzcd}
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|
|
|
|
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
\end{center}
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|
Hierbei lassen wir die Identitätsmorphismen weg - wir wissen aber, dass es sie
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immer gibt, der Übersichtlichkeit halber sind sie also nicht nötig.
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\item
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Es gibt die Kategorien $\textbf{Grp}$ und $\textbf{Set}$
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aller Gruppen bzw.
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Mengen, wobei Morphismen durch Gruppenhomomorphismen bzw.
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durch Abbildungen gegeben sind.
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|
\end{enumerate}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{example}
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|
|
|
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|
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\begin{remark}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Hier wird auch Klar, warum wir nicht fordern, dass $\Ob(\mathcat{A})$
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eine
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Menge ist, denn die 'Menge aller Mengen' existiert nicht.
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Um die Kategorie aller Mengen zu definieren, benötigen wir also die 'Klasse
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aller Mengen'.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{remark}
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|
Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
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\begin{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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Sei $\mathcat{A}$ eine Kategorie mit nur einem Objekt.
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Wir können uns $\mathcat{A}$ also vorstellen als ein Objekt und
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alle seine
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Selbstabbildungen, in etwa:
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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|
\begin{center}
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|
|
|
|
\begin{tikzcd}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
\bullet \ar[loop left]{}{f} \ar[loop
|
|
|
|
|
above]{}{\id} \ar[loop right]{}{g} \ar[loop below]{}{f \circ g}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{tikzcd}
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
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|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
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(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben).
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Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen
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es gibt, und wie diese verknüpft werden.
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Eigentlich ist diese Kategorie also eine Menge $\mathcat{A}(\bullet,\bullet)$
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von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser.
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In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}.
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Also
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
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|
\end{example}
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|
2022-02-17 13:26:32 +01:00
|
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|
\begin{corollary}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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Eine Kategorie mit einem Element ist ein
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Monoid.
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2022-02-17 13:26:32 +01:00
|
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|
\end{corollary}
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
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|
\begin{definition}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
Ein Morphismus $f:A\to B$ ist ein Isomorphismus, wenn es ein $g:B\to A$ gibt
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mit $f\circ g = \id_B$ und $g\circ f = \id_A$.
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{definition}
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|
Hiermit ergibt sich auch schnell:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:26:32 +01:00
|
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|
\begin{corollary}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
Eine Kategorie mit einem
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Element, bei der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ist eine Gruppe.
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2022-02-17 13:26:32 +01:00
|
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|
\end{corollary}
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
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\begin{remark}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Man kann sich das ganze wirklich wie folgt vorstellen: Eine Gruppe ist ein
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Objekt und die Angabe aller seiner Selbst-Symmetrien.
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Wenn ich zwei Symmetrien anwende, dann ist das eine weiter Symmetrie, und jede
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Symmetrie kann man rückgängig machen.
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\\
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Es ist völlig unerheblich, ob man eine Gruppe als 'Menge von Elementen' oder
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als 'Menge von Selbstabbildungen' interpretiert, es handelt sich einfach um
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|
verschieden Perspektiven.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{remark}
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|
\begin{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Sei $P$ eine Partialordnung auf einer Menge $M$.
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Wir konstruieren eine zugehörige Kategorie, indem wir $\Ob(\mathcat{A})
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= M$
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setzen, und eine Abbildung von $f:A\to B$ genau dann existieren soll, wenn
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$A\leq B$ in der Partialordnung gilt.
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Insbesondere gibt es also zwischen zwei Objekten höchstens eine Abbildung.
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\\
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Die Verknüpfung von Abbildungen entspricht der Transitivität der
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Partialordnung. \\
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Umgekehrt können wir auch aus jeder Kategorie, bei der zwischen je zwei
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Objekten höchstens ein Pfeil existiert und bei der keine 2 Objekte isomorph
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sind, eine Partialordnung auf der Menge ihrer Objekte ableiten. (Oder, wenn wir
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nicht fordern, dass die Elemente paarweise nicht isomorph sind, auf der Menge
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ihrer Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie).
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Das ganze könnte dann wie folgt aussehen, wenn wir den Teilerverband von $126$
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betrachten:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
\begin{center}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
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|
\begin{tikzcd}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
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|
|
|
|
& 1\ar["1 \mid 2 " description]{dl} \arrow["1 \mid 7 " description]{d}{}
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\arrow["1 \mid 3 " description]{dr}{} \\ 2\ar[]{d} \ar[]{dr} &
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
7\ar[]{dl}\ar[no head]{dr} & 3\ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \ar[no
|
|
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|
head]{dr} \\ 14 \ar[no head]{dr} & 6 \ar[no head]{d} \ar[no head]{dr} &
|
|
|
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21\ar[no head]{dl} \ar[no head]{dr} & 9 \ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \\
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
& 42\ar[no head]{dr} & 18\ar[no
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
head]{d} & 63\ar[no head]{dl} \\ & & 126
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\end{tikzcd}
|
|
|
|
|
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
\end{center}
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
\end{example}
|
|
|
|
|
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
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|
wobei wir die Kompositionspfeile weggelassen haben.
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Das ganze könnte auch so aussehen:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
|
|
\begin{tikzcd}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
& & a
|
|
|
|
|
\arrow[loop above]{}{\id_a} \arrow["a \leq d" description]{dddd} \arrow["a\leq
|
|
|
|
|
b" description]{ddll}{}\arrow["a\leq c" description]{ddrr}{} \\ \\ b
|
|
|
|
|
\arrow[loop above]{}{\id_b} & & & & c\arrow[loop right]{}{\id_c}\arrow["c\leq
|
|
|
|
|
d" description]{ddll}{} \\ \\ & & d \arrow[loop below]{}{\id_d}
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{tikzcd}
|
|
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2022-02-17 17:29:27 +01:00
|
|
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|
\section{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
|
Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' charakterisieren.
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|
Aus der Mengenlehre kennen wir das Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$.
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Aber was macht dieses Produkt speziell, bzw.
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besonders?
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Jedes Element aus $X\times Y$ 'beschreibt ein Paar von Elementen aus $X$ und
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$Y$.
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|
Wie lässt sich dies mit Abbildungen ausdrücken?
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|
Elemente aus $X,Y$ können wir durch Abbildungen $f:M\to X$ und $f:M\to Y$
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|
|
|
beschreiben, und wir erhalten eine (eindeutige) Abbildung, die nun von $M\to
|
|
|
|
|
X\times Y$ abbildet:
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
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|
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
|
|
\begin{tikzcd}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
& & & X \\ M
|
|
|
|
|
\ar[swap]{drrr}{h} \ar{urrr}{g} \ar[dotted, "\exists !
|
|
|
|
|
f" description]{rr} & & X\times Y \ar[swap]{ur}{\pi_X} \ar{dr}{\pi_Y} \\
|
|
|
|
|
& & & Y
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{tikzcd}
|
|
|
|
|
\end{center}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
Um den Zusammenhang zwischen $X\times Y$ und $X,Y$ zu beschreiben, benötigen
|
|
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|
|
wir noch die jeweiligen Projektionsabbildungen auf die beiden Mengen.
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Wir können also folgendes definieren:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
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|
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
|
|
|
Seien $X,Y\in
|
|
|
|
|
\mathcat{A}$ gegeben.
|
|
|
|
|
Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
$\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
jedes
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|
Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig
|
|
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|
bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
\begin{remark}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
Wichtig ist, dass zum Produkt nicht nur das Objekt selbst, sondern auch die
|
|
|
|
|
beiden Projektionsabbildungen gehören.
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In \textbf{Set} mag dies zwar 'unnötig' erscheinen, weil die
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|
Projektionen sehr
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kanonisch sind, im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.
|
2022-02-17 13:15:54 +01:00
|
|
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
|
Wichtig ist nun vor allem folgendes:
|
2022-02-17 13:43:39 +01:00
|
|
|
|
|
2022-02-17 13:26:32 +01:00
|
|
|
|
\begin{theorem}
|
2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
|
|
|
Seien $X,Y\in \mathcat{A}$
|
|
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gegeben.
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Existiert das Produkt $(P,\pi_X, \pi_Y)$, so ist dieses bis auf Isomorphismus
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eindeutig bestimmt, d.h.
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für $(P',τ_X,τ_Y)$ ein weiters Produkt, gibt es einen Isomorphismus $f:P\to
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P'$, sodass auch $τ_X \circ f = π_X$ und $τ_Y \circ f = π_Y$, also
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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& & X \\
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P\ar{urr}{\pi_X} \ar{drr}[swap]{\pi_Y} \ar["\exists f" description]{r} & P'\ar{ur}[swap]{τ_X} \ar{dr}{τ_Y} \\
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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& & Y
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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2022-02-17 13:26:32 +01:00
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\end{theorem}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{proof}
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Im Vortrag mit folgendem Diagramm:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{center}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\begin{tikzcd}[sep=huge] & X
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\\ P_1\arrow[]{ur}{\pi_X^1}\arrow[swap]{dr}{\pi_Y^1} \arrow[]{r}{f} &
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P_2\arrow["\pi_X^2" description]{u}{}\arrow["\pi_Y^2"
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description]{d}{}\arrow[]{r}{g} & P_1
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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\arrow[swap]{ul}{\pi_X^1}\arrow[]{dl}{\pi_Y^2} \\ & Y
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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\end{proof}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{remark}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Mit diesem Satz wird die 'alternative'
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Formulierung des Produkts zweier Objekte erst wirklich nützlich.
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Wir sind in der Lage, $X\times Y$ ausschließlich kategorientheoretisch zu
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charakteriesieren, ohne auf die Objekte selbst einzugehen.
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Wir können also in \textit{jeder} Kategorie sagen, was ein Produkt ist,
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nicht
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nur in \textbf{Set}.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{remark}
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\begin{example}
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Beispiele von Produkten in Kategorien:
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{itemize}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\item
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In \textbf{Set}
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ist das Produkt genau $X\times Y$
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\item
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In \textbf{Grp} ist das Produkt das
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Gruppenprodukt $G\times H$
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\item
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In $\textbf{Vect}_K$ ist das Produkt $V\oplus
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W$, die direkte Summe der Vektorräume.
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\item
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Ist $\mathcal{P}$ eine Kategorie, die die Partialordnung $P$ auf
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$M$ darstellt, so ist das Produkt von zwei Elementen $a,b$ durch ihr Infimum
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gegeben (größte untere Schranke).
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{itemize}
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\end{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Ein weiteres wichtiges Konzept in der Kategorientheorie ist das der
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'Opposite-Kategorie'.
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Aus jeder Kategorie können wir ihre duale Kategorie konstruieren, indem wir
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alle Pfeile umdrehen.
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Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{definition}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Das Koprodukt von $X,Y$ ist ein Objekt $X+Y$, zusammen
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mit Einbettungen $ι_X : X \to X+Y$ sowie $ι_Y : Y \to X+Y$, sodass es für
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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jede Abbildungen $g: X \to M$ und $h:Y\to M$ eine eindeutig
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bestimmte Abbildung $f:X+Y\to M$ gibt, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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X \ar[swap]{dr}{ι_X} \ar{drrr}{g}\\ & X+Y
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\ar[dotted,"\exists !
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f" description]{rr} & & M \\
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Y \ar{ur}{ι_Y} \ar[swap]{urrr}{h}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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und dieses ist, falls existent, eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen
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Isomorphismus.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{definition}
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\begin{proof}
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Folgt aus dem Satz über das Produkt unter Verwendung der 'Opposite Kategorie'.
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\end{proof}
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\begin{recap}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\textbf{Aufgabe:}
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Finde das Koprodukt in \textbf{Set}.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{recap}
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|
\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\item
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Man kann die freie Gruppe (Ring, Körper, etc) über einer Menge
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kategorientheoretisch sehr schön definieren.
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Sei hierzu $X$ eine Menge.
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Eine freie Gruppe über $X$ ist eine Gruppe $G$ mit einer Einbettung $ι: X \to
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G$, sodass es für jede Gruppe $H$ und jede Abbildung (nicht von Gruppen) $g:
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X\to H$ einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $f : G \to H$ gibt.
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Also
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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G \arrow[dashed, "\exists !
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f \text{ Gruppenhom}" description]{rrrr} & & & & H \\
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X \arrow[hook]{u}{ι} \arrow[swap]{urrrr}{g}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Man stellt fest, dass es hierbei völlig unerheblich ist, was die Wörter
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\textit{Gruppe} und Gruppenhomomorphismus eigentlich bedeuten, außer
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dass es
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sich um ein Objekt mit Struktur handelt, und eine Abbildung, die diese erhält.
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\\
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Die freie Gruppe über einer Menge $X$ kann man sich hierbei noch als 'Wörter
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mit Buchstaben aus X' vorstellen (wobei es 'negative' Buchstaben gibt),
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besonders wenn es sich um kompliziertere Strukturen handelt, ist es allerdings
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nicht leicht, die entsprechenden freien Objekte anderweitig zu verstehen oder
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explizit zu konstruieren, kategorientheoretisch passiert jedoch immer dasselbe,
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und die Eindeutigkeit zeigt man auch stets gleich.
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\item
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Wir betrachten ein weiteres Beispiel, das sogenannte Tensorprodukt. Über zwei
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Vektorräumen $V,W$ (allgemeiner: Moduln) über dem gleichen Körper (allgemeiner:
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Ring), können wir das Tensorprodukt $V \otimes W$ einführen, es stellt eine
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'universelle bilineare Abbildung dar', und hat die folgende universelle
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Eigenschaft:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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V \otimes W \ar[dotted, "\exists !
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f \text{ linear}" description]{rrr} & & & M \\
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V \times W \ar{u}{ι \text{ linear}} \ar{urrr}[swap]{g \text{ bilinear}}
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|
\end{tikzcd}
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|
\end{center}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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|
\end{enumerate}
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|
\end{example}
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|
\begin{definition}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Ein Objekt $A\in \Ob(\mathcat{A})$ heißt \textit{initial}, falls
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es für jedes
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2022-02-17 13:43:39 +01:00
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$B\in \Ob(\mathcat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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gibt.
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\\
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Ein Objekt $A$ heißt \textit{terminal}, falls es für jedes $B$ genau
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einen Morphismus $f: B\to A$ gibt.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{definition}
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\begin{recap}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\textbf{Aufgabe.}
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Finde die initialen und terminalen Objekte in \textbf{Set},
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\textbf{Grp},
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\textbf{CRing} und einer partiell geordneten Menge.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{recap}
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