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@ -1,13 +1,13 @@
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Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
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\begin{definition}
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Seien $\cat{A},\cat{B}$ zwei Kategorien. Ein Funktor $F: \cat{A}\to \cat{B}$ besteht aus
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Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien. Ein Funktor $F: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ besteht aus
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\begin{itemize}
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\item Einer Funktion $F: \ob(\cat{A}) \to \ob(\cat{B})$
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\item Für jedes $A,B\in \cat{A}$ eine Abbildung $F: \cat{A}(A,B) \to \cat{B}(F(A),F(B))$
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\item Einer Funktion $F: \Ob(\mathcat{A}) \to \Ob(\mathcat{B})$
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\item Für jedes $A,B\in \mathcat{A}$ eine Abbildung $F: \mathcat{A}(A,B) \to \mathcat{B}(F(A),F(B))$
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\end{itemize}
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sodass gilt:
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\begin{itemize}
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\item Für $A\in \cat{A}$ ist $F(1_A) = 1_{F(A)}$, d.h. Identitäten werden auf Identitäten abgebildet.
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\item Für $A\in \mathcat{A}$ ist $F(1_A) = 1_{F(A)}$, d.h. Identitäten werden auf Identitäten abgebildet.
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\item $F$ respektiert Komposition, d.h. $F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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@ -16,20 +16,20 @@ Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die
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\item
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Die einfachsten Beispiele von Funktoren sind 'vergessliche' Funktoren. Z.B. können wir einen Funktor $F: \textbf{Grp} \to \textbf{Set}$ definieren, indem wir eine Gruppe auf ihre zugehörige Menge schicken, und einen Gruppenhomomorphismus auf die zugehörige Abbildung von Mengen. Wir 'vergessen' also, dass es sich bei unseren Objekten um Gruppen handelt, und dass die Abbildungen diese Gruppenstrukturen erhalten. \\
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Analog finden wir z.B. Funktoren $\textbf{CRing} \to \textbf{Grp}$ oder $\textbf{Vect}_K \to \textbf{Set}$ \\
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\item Sei $G$ eine Gruppe, bzw. $\cat{G}$ die zugehörige Kategorie. Was ist ein Funktor $F : \cat{G} \to \textbf{Set}$ ? (Eine Gruppenwirkung).
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\item Seien $G,H$ Gruppen, dargestellt als Kategorien. Dann ist ein Funktior $\cat{G}\to \cat{H}$ nichts anderes als ein Gruppenhomomorphismus $F: G\to H$
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\item Funktoren $F: \cat{P}\to \cat{Q}$ von partiell geordneten Mengen (bzw. deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
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\item Sei $G$ eine Gruppe, bzw. $\mathcat{G}$ die zugehörige Kategorie. Was ist ein Funktor $F : \mathcat{G} \to \textbf{Set}$ ? (Eine Gruppenwirkung).
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\item Seien $G,H$ Gruppen, dargestellt als Kategorien. Dann ist ein Funktior $\mathcat{G}\to \mathcat{H}$ nichts anderes als ein Gruppenhomomorphismus $F: G\to H$
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\item Funktoren $F: \mathcat{P}\to \mathcat{Q}$ von partiell geordneten Mengen (bzw. deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
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\begin{thm}
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\begin{theorem}
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Funktoren bilden isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte ab.
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\end{thm}
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\end{theorem}
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\begin{lemma}
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Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h. sind $G : \cat{A}\to \cat{B}$ und $F: \cat{B}\to \cat{C}$ Funktoren, so gibt es einen Funktior $F \circ G : \cat{A} \to \cat{C}$, der wie folgt definiert ist:
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Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h. sind $G : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ und $F: \mathcat{B}\to \mathcat{C}$ Funktoren, so gibt es einen Funktior $F \circ G : \mathcat{A} \to \mathcat{C}$, der wie folgt definiert ist:
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\begin{itemize}
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\item Für $A \in \ob(\cat{A})$ ist $F\circ G(A) = F(G(A)) \in \ob(\cat{C})$
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\item Für $A \in \Ob(\mathcat{A})$ ist $F\circ G(A) = F(G(A)) \in \Ob(\mathcat{C})$
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\item Für $f: A \to B$ ist $F\circ G ( f) = F (G( f)) \in \Hom(F\circ G(A), F\circ G(B))$
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\end{itemize}
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\end{lemma}
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@ -3,23 +3,23 @@ Wir haben nun gesehen, was Kategorien, ihre Abbildungen (Funktoren), und sogar d
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\left \{3,7,11\right\} \quad \left \{\triangle, \square, \bigcirc \right\}
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.\]
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gleich sind. Die Antwort ist wie so oft ein klares 'ja und nein'. Es handelt sich nicht um \textit{dieselben} Mengen, auch nicht um die \textit{gleichen} Mengen, denn die enthaltenen Objekte sind verschidene, aber die Mengen verhalten sich gleich, sie sind \textit{isomorph}. \\
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Das Konzept von Isomorphie kennt man auch von anderen Teilgebieten, die Gruppen $ℤ / 4ℤ$, und der Rotationen von $0,90,180,270$ Grad sind zwar nicht gleich, sie beschreiben semantisch verschiedene Dinge, sind aber \textit{isomorph}, denn sie verhalten sich als Gruppe selbst völlig gleich. Wir haben dies bereits allgemeiner schon gesehen, indem wir gesagt haben
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Das Konzept von Isomorphie kennt man auch von anderen Teilgebieten, die Gruppen $\ensuremath{\mathbb{Z}} / 4\ensuremath{\mathbb{Z}}$, und der Rotationen von $0,90,180,270$ Grad sind zwar nicht gleich, sie beschreiben semantisch verschiedene Dinge, sind aber \textit{isomorph}, denn sie verhalten sich als Gruppe selbst völlig gleich. Wir haben dies bereits allgemeiner schon gesehen, indem wir gesagt haben
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\begin{definition}
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Zwei Objekte $A,A' \in \cat{A}$ sind isomorph, wenn es $f: A \to A'$ und $g: A' \to A$ gibt, sodass $f\circ g = \id_{A'}$ und $g \circ f = \id_A$ ist.
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Zwei Objekte $A,A' \in \mathcat{A}$ sind isomorph, wenn es $f: A \to A'$ und $g: A' \to A$ gibt, sodass $f\circ g = \id_{A'}$ und $g \circ f = \id_A$ ist.
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\end{definition}
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Zwei Objekte sind also gleich, wenn wir sie gegenseitig aufeinander abbilden können, und dabei die Struktur erhalten. \\
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Das ganze können wir nun ausdehnen und fragen, wann zwei \textit{Funktoren} gleich sind. Wir kennen bereits die Funktiorkategorie $[\cat{A},\cat{B}]$, und eine naheliegende Definition ist somit folgende:
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Das ganze können wir nun ausdehnen und fragen, wann zwei \textit{Funktoren} gleich sind. Wir kennen bereits die Funktiorkategorie $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$, und eine naheliegende Definition ist somit folgende:
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\begin{definition}
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Zwei Funktoren heißen natürlich isomorph, wenn sie in $[\cat{A},\cat{B}]$ isomorph sind. Einen solchen Isomorphismus $α: F\to G$ für $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ nennen wir dann natürlichen Isomorphismus.
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Zwei Funktoren heißen natürlich isomorph, wenn sie in $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$ isomorph sind. Einen solchen Isomorphismus $α: F\to G$ für $F,G: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ nennen wir dann natürlichen Isomorphismus.
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\end{definition}
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Die Funktoren unterscheiden sich also nur dahingehend, welches von sehr vielen isomorphen Objekten sie einem Objekt $A\in \cat{A}$ zuweisen. Zudem gilt folgendes:
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\begin{prop}
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Eine natürliche Transformation $α:F\to G$ ist genau dann ein natürlicher Isomorphismus, wenn für jedes $A\in \cat{A}$ der Morphismus $α_A$ ein Isomorphismus ist.
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\end{prop}
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Die Funktoren unterscheiden sich also nur dahingehend, welches von sehr vielen isomorphen Objekten sie einem Objekt $A\in \mathcat{A}$ zuweisen. Zudem gilt folgendes:
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\begin{proposition}
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Eine natürliche Transformation $α:F\to G$ ist genau dann ein natürlicher Isomorphismus, wenn für jedes $A\in \mathcat{A}$ der Morphismus $α_A$ ein Isomorphismus ist.
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\end{proposition}
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\begin{definition}
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Für zwei Funktoren $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ sagen wir, dass $F(A) \cong G(A)$ \textit{natürlich in $\cat{A}$}, wenn $F,G$ natürlich isomorph sind.
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Für zwei Funktoren $F,G: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ sagen wir, dass $F(A) \cong G(A)$ \textit{natürlich in $\mathcat{A}$}, wenn $F,G$ natürlich isomorph sind.
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\end{definition}
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Hiermit wollen wir ausdrücken, dass die beiden Objekte $F(A), G(A)$ nicht nur 'einfach' isomorph sind, es gilt sicherlich $F(A) \cong G(A)$ für jedes individuelle $A\in \cat{A}$. Wir können aber zusätzlich noch sagen, dass wir sogar die isomorphismen $α_A: F(A) \to G(A)$ so wählen können, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, dass die Isomorphismen also in ein 'größeres Bild' passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
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Hiermit wollen wir ausdrücken, dass die beiden Objekte $F(A), G(A)$ nicht nur 'einfach' isomorph sind, es gilt sicherlich $F(A) \cong G(A)$ für jedes individuelle $A\in \mathcat{A}$. Wir können aber zusätzlich noch sagen, dass wir sogar die isomorphismen $α_A: F(A) \to G(A)$ so wählen können, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, dass die Isomorphismen also in ein 'größeres Bild' passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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\item Wir wollen zeigen, dass für einen endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ gilt, dass $V \cong {V ^*}^*$ natürlich isomorph zu seinem doppeltem Dualraum ist. Den 'kanonischen' Isomorphismus, gegeben durch
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@ -35,12 +35,12 @@ Hiermit wollen wir ausdrücken, dass die beiden Objekte $F(A), G(A)$ nicht nur '
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wollen wir also als natürlichen Isomorphismus erhalten. Hierzu betrachten wir also die beiden Funktoren $\id : \textbf{Vect}_K \to \textbf{Vect}_K$ und $F:\textbf{Vect}_K \to \textbf{Vect}_K$, wobei $F$ einen Vektorraum auf seinen doppelten Dualraum schickt. Wir können nun eine natürliche Transformation $α : \id \to F$ definieren, indem wir als unsere Komponenten genau die zuvor definierten Isomorphismen $α_V$ wählen. \\
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Das Nachrechnen, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, ist (per Hand) ein bisschen langwierig nachzurechnen, aber schreibt sich im wesentlichen von selbst, wenn man sich die Definitionen klarmacht und sei dem geneigten Leser überlassen.
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\item Für eine endliche Menge $X$ gibt es genau $n!$ Permutationen auf dieser, und auch genau $n!$ Möglichkeiten, diese in einer Reihe zu ordnen (eine Totalordnung zu bilden). Die Mengen $\Sym (X)$ und $\Ord(X)$ sind also isomorph, da sie gleich viele Element besitzen. Wir wollen im folgenden verstehen, warum die Objekte allerdings nicht natürlich isomorph sind, man benötigt eine 'arbitrary' Wahl, um solch einen Isomorphismus festzulegen, und genau diese Intuition präzisiert die Sprache der Kategorientheorie. \\
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Wir betrachten hierzu die Kategorie $\cat{B}$ aller endlichen Mengen mit Bijektionen zwischen ihnen, und definiren die Funktoren $\Sym : \cat{B}\to \textbf{Set}$ und $\Ord: \cat{B}\to \textbf{Set}$ durch
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Wir betrachten hierzu die Kategorie $\mathcat{B}$ aller endlichen Mengen mit Bijektionen zwischen ihnen, und definiren die Funktoren $\Sym : \mathcat{B}\to \textbf{Set}$ und $\Ord: \mathcat{B}\to \textbf{Set}$ durch
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\[
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\Sym(X) = \left \{f:X\to X | f \text{ ist Bijektion}\right\} \qquad \Ord(X) = \left \{R \subset \mathcal{P}(X) | R \text{ ist Totalordnung}\right\}
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.\]
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Im zweiteren Fall interpretieren wir (wie üblich) $a\leq b :\iff (a,b) \in R$. Es ergibt sich dann auch für $f:X\to Y$ in der Kategorie $\cat{B}$, dass wir $\Sym(f)(\pi) := f\circ \pi\circ f^{-1}$ definieren, und $\Ord(f)(R) := \left \{(a,b) \in \mathcal{P}(Y) \mid (a^{-1},b^{-1})\in R\subset \mathcal{P}(X)\right\} $. Wir will, kann sich hierzu die kommutativen Diagramme zeichnen und überprüfen, dass es sich um die 'einzig sinnvollen' Funktoren handelt. \\
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Nehmen wir nun an, es gäbe eine natürliche Transformation $α: \textbf{Sym} \to \textbf{Ord}$, denn finden wir Komponenten $α_X$ hiervon. Wir betrachten nun konkret die Menge $X = \left\{1,2\right\} $, und in $\cat{B}$ die Abbildung $τ_{1,2}: X \to X$, wir erhalten also folgendes kommutatives Diagramm:
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Im zweiteren Fall interpretieren wir (wie üblich) $a\leq b :\iff (a,b) \in R$. Es ergibt sich dann auch für $f:X\to Y$ in der Kategorie $\mathcat{B}$, dass wir $\Sym(f)(\pi) := f\circ \pi\circ f^{-1}$ definieren, und $\Ord(f)(R) := \left \{(a,b) \in \mathcal{P}(Y) \mid (a^{-1},b^{-1})\in R\subset \mathcal{P}(X)\right\} $. Wir will, kann sich hierzu die kommutativen Diagramme zeichnen und überprüfen, dass es sich um die 'einzig sinnvollen' Funktoren handelt. \\
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Nehmen wir nun an, es gäbe eine natürliche Transformation $α: \textbf{Sym} \to \textbf{Ord}$, denn finden wir Komponenten $α_X$ hiervon. Wir betrachten nun konkret die Menge $X = \left\{1,2\right\} $, und in $\mathcat{B}$ die Abbildung $τ_{1,2}: X \to X$, wir erhalten also folgendes kommutatives Diagramm:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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X \arrow[]{d}{τ_{1,2}} & & \Sym(X) \arrow[]{r}{α_X} \arrow[swap]{d}{\Sym(τ_{1,2})} & \Ord(X) \arrow[]{d}{\Ord(τ_{1,2})} \\
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@ -51,6 +51,6 @@ Das Nachrechnen, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, ist (p
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{definition}
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Zwei Kategorien $\cat{A},\cat{B}$ heißen äquivalent, wenn es Funktoren $F:\cat{A}\to \cat{B}$ und $G:\cat{B}\to \cat{A}$ gibt, sodass $F \circ G \cong \id_{\cat{B}}$ und $G\circ F \cong \id_{\cat{A}}$ natürlich isomorph zu den Identitätsfunktoren sind.
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Zwei Kategorien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ heißen äquivalent, wenn es Funktoren $F:\mathcat{A}\to \mathcat{B}$ und $G:\mathcat{B}\to \mathcat{A}$ gibt, sodass $F \circ G \cong \id_{\mathcat{B}}$ und $G\circ F \cong \id_{\mathcat{A}}$ natürlich isomorph zu den Identitätsfunktoren sind.
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\end{definition}
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Hiermit kann man z.B. zeigen, dass die Kategorie $\textbf{FDVect}_K$ der endlich-dimensionalen Vektorräume über einem Körper $K$ äquivalent ist zur Kategorie $\textbf{Mat}$, die als Objekte natürliche Zahlen besitzt, und als Morphismen von $m$ nach $n$ die $n\times m$-Matrizen über dem Körper.
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@ -1,29 +1,29 @@
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\subsection{Kategorien und Beispiele}
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\begin{definition}
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Eine Kategorie $\cat{A}$ besteht aus
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Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus
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\begin{itemize}
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\item Einer Kollektion (Klasse) $\ob(\cat{A})$ von \textit{Objekten} von $\cat{A}$
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\item Für jedes Paar $A,B\in \ob(\cat{A})$ eine Menge $\cat{A}(A,B)$ von \textit{Abbildungen, Morphismen} oder auch einfach \textit{Pfeilen} von $A$ nach $B$
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||||
\item Für alle $A,B,C\in \cat{A}$ eine Abbildung, genannt \textit{Komposition von Morphismen}:
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\item Einer Kollektion (Klasse) $\Ob(\mathcat{A})$ von \textit{Objekten} von $\mathcat{A}$
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\item Für jedes Paar $A,B\in \Ob(\mathcat{A})$ eine Menge $\mathcat{A}(A,B)$ von \textit{Abbildungen, Morphismen} oder auch einfach \textit{Pfeilen} von $A$ nach $B$
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\item Für alle $A,B,C\in \mathcat{A}$ eine Abbildung, genannt \textit{Komposition von Morphismen}:
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\begin{equation*}
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\begin{array}{c c l}
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\cat{A}(B,C)\times \cat{A}(A,B) & \longrightarrow & \cat{A}(A,C) \\
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\mathcat{A}(B,C)\times \mathcat{A}(A,B) & \longrightarrow & \mathcat{A}(A,C) \\
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(f,g) & \longmapsto & f\circ g
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\end{array}
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\end{equation*}
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||||
\item Für jedes $A\in \cat{A}$ einen \textit{Identitätsmorphismus}, notiert $1_{A}\in \cat{A}(A,A)$.
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\item Für jedes $A\in \mathcat{A}$ einen \textit{Identitätsmorphismus}, notiert $1_{A}\in \mathcat{A}(A,A)$.
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\end{itemize}
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sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:
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\begin{itemize}
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\item \textit{Assziativität:} Für $f\in \cat{A}(A,B)$, $g\in \cat{A}(B,C)$ und $h\in \cat{A}(C,D)$ ist
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||||
\item \textit{Assziativität:} Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$, $g\in \mathcat{A}(B,C)$ und $h\in \mathcat{A}(C,D)$ ist
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\[
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h\circ (g\circ f) = (h\circ g) \circ f
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.\]
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\item \textit{Identität} Für $f\in \cat{A}(A,B)$ ist $f\circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f $.
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\item \textit{Identität} Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$ ist $f\circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f $.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in \cat{A}$ für $A\in \ob(\cat{A})$ oder auch $f:A\to B$ für $f\in \cat{A}(A,B)$ schreiben.
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Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in \mathcat{A}$ für $A\in \Ob(\mathcat{A})$ oder auch $f:A\to B$ für $f\in \mathcat{A}(A,B)$ schreiben.
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\end{remark}
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\begin{example}
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@ -40,31 +40,31 @@ Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in \cat{A}$ für $A\in
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\end{example}
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\begin{remark}
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Hier wird auch Klar, warum wir nicht fordern, dass $\ob(\cat{A})$ eine Menge ist, denn die 'Menge aller Mengen' existiert nicht. Um die Kategorie aller Mengen zu definieren, benötigen wir also die 'Klasse aller Mengen'.
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Hier wird auch Klar, warum wir nicht fordern, dass $\Ob(\mathcat{A})$ eine Menge ist, denn die 'Menge aller Mengen' existiert nicht. Um die Kategorie aller Mengen zu definieren, benötigen wir also die 'Klasse aller Mengen'.
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\end{remark}
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Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
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\begin{example}
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Sei $\cat{A}$ eine Kategorie mit nur einem Objekt. Wir können uns $\cat{A}$ also vorstellen als ein Objekt und alle seine Selbstabbildungen, in etwa:
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Sei $\mathcat{A}$ eine Kategorie mit nur einem Objekt. Wir können uns $\mathcat{A}$ also vorstellen als ein Objekt und alle seine Selbstabbildungen, in etwa:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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\bullet \ar[loop left]{}{f} \ar[loop above]{}{\id} \ar[loop right]{}{g} \ar[loop below]{}{f \circ g}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben). Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen es gibt, und wie diese verknüpft werden. Eigentlich ist diese Kategorie also eine Menge $\cat{A}(\bullet,\bullet)$ von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser. In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}. Also
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(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben). Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen es gibt, und wie diese verknüpft werden. Eigentlich ist diese Kategorie also eine Menge $\mathcat{A}(\bullet,\bullet)$ von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser. In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}. Also
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\end{example}
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\begin{cor}
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\begin{corollary}
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Eine Kategorie mit einem Element ist ein Monoid.
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\end{cor}
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\end{corollary}
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\begin{definition}
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Ein Morphismus $f:A\to B$ ist ein Isomorphismus, wenn es ein $g:B\to A$ gibt mit $f\circ g = \id_B$ und $g\circ f = \id_A$.
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\end{definition}
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Hiermit ergibt sich auch schnell:
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\begin{cor}
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\begin{corollary}
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Eine Kategorie mit einem Element, bei der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ist eine Gruppe.
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\end{cor}
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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Man kann sich das ganze wirklich wie folgt vorstellen: Eine Gruppe ist ein Objekt und die Angabe aller seiner Selbst-Symmetrien. Wenn ich zwei Symmetrien anwende, dann ist das eine weiter Symmetrie, und jede Symmetrie kann man rückgängig machen. \\
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@ -72,7 +72,7 @@ Hiermit ergibt sich auch schnell:
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\end{remark}
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\begin{example}
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Sei $P$ eine Partialordnung auf einer Menge $M$. Wir konstruieren eine zugehörige Kategorie, indem wir $\ob(\cat{A}) = M$ setzen, und eine Abbildung von $f:A\to B$ genau dann existieren soll, wenn $A\leq B$ in der Partialordnung gilt. Insbesondere gibt es also zwischen zwei Objekten höchstens eine Abbildung. \\
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||||
Sei $P$ eine Partialordnung auf einer Menge $M$. Wir konstruieren eine zugehörige Kategorie, indem wir $\Ob(\mathcat{A}) = M$ setzen, und eine Abbildung von $f:A\to B$ genau dann existieren soll, wenn $A\leq B$ in der Partialordnung gilt. Insbesondere gibt es also zwischen zwei Objekten höchstens eine Abbildung. \\
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||||
Die Verknüpfung von Abbildungen entspricht der Transitivität der Partialordnung. \\
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Umgekehrt können wir auch aus jeder Kategorie, bei der zwischen je zwei Objekten höchstens ein Pfeil existiert und bei der keine 2 Objekte isomorph sind, eine Partialordnung auf der Menge ihrer Objekte ableiten. (Oder, wenn wir nicht fordern, dass die Elemente paarweise nicht isomorph sind, auf der Menge ihrer Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie). Das ganze könnte dann wie folgt aussehen, wenn wir den Teilerverband von $126$ betrachten:
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\begin{center}
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@ -109,14 +109,14 @@ Wir wollen nun Objekte in Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' cha
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\end{center}
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Um den Zusammenhang zwischen $X\times Y$ und $X,Y$ zu beschreiben, benötigen wir noch die jeweiligen Projektionsabbildungen auf die beiden Mengen. Wir können also folgendes definieren:
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\begin{definition}
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Seien $X,Y\in \cat{A}$ gegeben. Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und $\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für jedes Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
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||||
Seien $X,Y\in \mathcat{A}$ gegeben. Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und $\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für jedes Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Wichtig ist, dass zum Produkt nicht nur das Objekt selbst, sondern auch die beiden Projektionsabbildungen gehören. In \textbf{Set} mag dies zwar 'unnötig' erscheinen, weil die Projektionen sehr kanonisch sind, im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.
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\end{remark}
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Wichtig ist nun vor allem folgendes:
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\begin{thm}
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Seien $X,Y\in \cat{A}$ gegeben. Existiert das Produkt $(P,\pi_X, \pi_Y)$, so ist dieses bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, d.h. für $(P',τ_X,τ_Y)$ ein weiters Produkt, gibt es einen Isomorphismus $f:P\to P'$, sodass auch $τ_X \circ f = π_X$ und $τ_Y \circ f = π_Y$, also
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\begin{theorem}
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Seien $X,Y\in \mathcat{A}$ gegeben. Existiert das Produkt $(P,\pi_X, \pi_Y)$, so ist dieses bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, d.h. für $(P',τ_X,τ_Y)$ ein weiters Produkt, gibt es einen Isomorphismus $f:P\to P'$, sodass auch $τ_X \circ f = π_X$ und $τ_Y \circ f = π_Y$, also
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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& & X \\
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@ -124,7 +124,7 @@ Wichtig ist nun vor allem folgendes:
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& & Y
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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\end{thm}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Im Vortrag mit folgendem Diagramm:
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\begin{center}
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@ -193,7 +193,7 @@ Ein weiteres wichtiges Konzept in der Kategorientheorie ist das der 'Opposite-Ka
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\begin{definition}
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Ein Objekt $A\in \ob(\cat{A})$ heißt \textit{initial}, falls es für jedes $B\in \ob(\cat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$ gibt. \\
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Ein Objekt $A\in \Ob(\mathcat{A})$ heißt \textit{initial}, falls es für jedes $B\in \Ob(\mathcat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$ gibt. \\
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Ein Objekt $A$ heißt \textit{terminal}, falls es für jedes $B$ genau einen Morphismus $f: B\to A$ gibt.
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\end{definition}
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\begin{recap}
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@ -1,6 +1,6 @@
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\begin{definition}
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Seien $\cat{A},\cat{B}$ zwei Kategorien, und $F: \cat{A}\to \cat{B}$ sowie $G:\cat{A}\to \cat{B}$ zwei Funktoren zwischen diesen. Eine \textit{natürliche Transoformation} $α: F \to G$ ist eine Familie $α_A : F(A) \to G(A) $ für jedes $A\in \cat{A}$, genannt \textit{Komponente} von $α$ (an $A$), sodass für jede Abbildung $f:A\to A'$ das folgende Diagramm kommutiert:
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Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien, und $F: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ sowie $G:\mathcat{A}\to \mathcat{B}$ zwei Funktoren zwischen diesen. Eine \textit{natürliche Transoformation} $α: F \to G$ ist eine Familie $α_A : F(A) \to G(A) $ für jedes $A\in \mathcat{A}$, genannt \textit{Komponente} von $α$ (an $A$), sodass für jede Abbildung $f:A\to A'$ das folgende Diagramm kommutiert:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A} & F(A') \ar{d}{α_{A'}} \\
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@ -11,14 +11,14 @@
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie $\cat{B}$ sind. \\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
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Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie $\mathcat{B}$ sind. \\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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\cat{A} \ar[bend left = 50, ""{name=U,below}] {r}{F} \ar[bend right = 50, swap, ""{name = D}]{r}{G}& \cat{B}
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\mathcat{A} \ar[bend left = 50, ""{name=U,below}] {r}{F} \ar[bend right = 50, swap, ""{name = D}]{r}{G}& \mathcat{B}
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\arrow[from = U, to =D, Rightarrow,yshift=1.5]{}{α}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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und meinen, dass $α$ eine natürliche Trasformation der Funktioren $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ ist.
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und meinen, dass $α$ eine natürliche Trasformation der Funktioren $F,G: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ ist.
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\end{remark}
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@ -44,14 +44,14 @@
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.\]
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was daraus folgt, dass $f$ Ringhomomorphismus ist. \\
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Man spricht also davon, dass die Transformation 'natürlich ist', weil sie 'gleich' für alle Objekte definiert ist, und man nicht nur jedes $F(A)$ 'irgendwie' in ein $G(A)$ überführt.
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\item Wir wissen bereits, dass für eine Gruppe $G$ und ihre zugehörende Kategorie $\cat{G}$ ein Funktor $S: \cat{G}\to \textbf{Set}$ eine Gruppenwirkung ist. Sei $T:\cat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher Funktor. Was ist eine natürliche Transformation
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\item Wir wissen bereits, dass für eine Gruppe $G$ und ihre zugehörende Kategorie $\mathcat{G}$ ein Funktor $S: \mathcat{G}\to \textbf{Set}$ eine Gruppenwirkung ist. Sei $T:\mathcat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher Funktor. Was ist eine natürliche Transformation
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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\cat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right = 50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set}
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\mathcat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right = 50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set}
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\arrow[from = U, to = D, Rightarrow, yshift = 1.5]{}{α}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Es handelt sich um eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede Abbildung $g\in \cat{G}$ gilt:
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Es handelt sich um eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede Abbildung $g\in \mathcat{G}$ gilt:
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\[
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α \circ S(g) = T(g) \circ α
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.\]
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@ -60,7 +60,7 @@
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\end{example}
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\begin{lemma}
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Man kann natürlich Transformationen verknüpfen, d.h. sind $F,G,H : \cat{A}\to \cat{B}$ Funktoren und ist $α:F\to G$ sowie $β:G\to H$ eine natürliche Transformation, so gibt es eine Transformation $β\circ α: F \to H$, die wir durch
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Man kann natürlich Transformationen verknüpfen, d.h. sind $F,G,H : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ Funktoren und ist $α:F\to G$ sowie $β:G\to H$ eine natürliche Transformation, so gibt es eine Transformation $β\circ α: F \to H$, die wir durch
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\[
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(β\circ α)_{A} = β_A \circ α_A
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.\]
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@ -78,8 +78,8 @@
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Da die obere und untere Hälfte jeweils kommutieren, kommutiert auch das gesamte Diagramm und es ist $β\circ α$ eine natürliche Transformation.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Für zwei Kategorien $\cat{A},\cat{B}$ können wir die \textit{Funktor-Kategorie} $[\cat{A},\cat{B}]$ definieren, die Objekte bestehen aus den Funktoren $F:\cat{A}\to \cat{B}$, die Morphismen zwischen Objekten $F,G$ sind natürliche Transformationen $α: F \to G$zwischen ihnen.
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Für zwei Kategorien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ können wir die \textit{Funktor-Kategorie} $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$ definieren, die Objekte bestehen aus den Funktoren $F:\mathcat{A}\to \mathcat{B}$, die Morphismen zwischen Objekten $F,G$ sind natürliche Transformationen $α: F \to G$zwischen ihnen.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Sei $\cat{G}$ eine Gruppe. Die Funktorkategorie $[\cat{G}, \textbf{Set}]$ ist die Kategorie aller linken $G$-Mengen, zusammen mit den G-equivarianten Abbildungen zwischen diesen Mengen.
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Sei $\mathcat{G}$ eine Gruppe. Die Funktorkategorie $[\mathcat{G}, \textbf{Set}]$ ist die Kategorie aller linken $G$-Mengen, zusammen mit den G-equivarianten Abbildungen zwischen diesen Mengen.
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\end{example}
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