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\documentclass[10pt,ngerman,a4paper, fancyfoot, git]{mkessler-script}
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\documentclass[10pt,ngerman]{article}
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\course{Kategorientheorie}
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\lecturer{}
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\author{}
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\title{Crashkurs: Kategorientheorie}
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\author{Maximilian Keßler}
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\usepackage{category-theory}
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\begin{document}
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\maketitle
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\cleardoublepage
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\input{inputs/abstract}
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\cleardoublepage
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\tableofcontents
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\cleardoublepage
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\section{Was ist eine Kategorie?}
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\input{inputs/kategorien}
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\section{Abbildungen zwischen Kategorien: Funktoren}
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\input{inputs/funktoren}
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\section{Natürliche Transformationen}
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\input{inputs/transformationen}
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\section{Natürliche Transformationen}
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\input{inputs/gleichheit}
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\begin{thebibliography}{9}
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\bibitem{Leinster} Tom Leinster, \textit{Basic Category Theory}, University of Edinburgh, 30.12.2016, arXiv 1612.09375 Abrufbar unter \url{https://arxiv.org/abs/1612.09375}
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\bibitem{Chen} Evan Chen, \textit{An Infinitely Large Napkin}, abrufbar unter \url{http://web.evanchen.cc/napkin.html}
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\end{thebibliography}
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\end{document}
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\ProvidesPackage{category-theory}[2022/02/10 - Style file for notes of Kategorientheorie]
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\usepackage{mkessler-math}
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\usepackage{mkessler-unicodechar}
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\usepackage{mkessler-enumerate}
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\usepackage{mkessler-faktor}
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\usepackage{mkessler-hypersetup}
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\usepackage{fancythm}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\newcommand{\gkl}[1]{\left\{ #1 \right\}}
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\newcommand{\kl}[1]{\left( #1 \right) }
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\begin{abstract}
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Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen. Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit Struktur, z.B. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie \textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten, d.h. ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
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Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen) zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben. Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so besonders?} oder auch \textit{Welche (tollen) Eigenschaften hat dieses Objekt}. Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten. \\
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Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann sind zwei Objekte identisch, wann gleich? Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen oder ganze Kategorien beantworten. Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B. die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht \textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie \textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
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Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.
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\end{abstract}
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Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
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\begin{definition}
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Seien $\cat{A},\cat{B}$ zwei Kategorien. Ein Funktor $F: \cat{A}\to \cat{B}$ besteht aus
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\begin{itemize}
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\item Einer Funktion $F: \ob(\cat{A}) \to \ob(\cat{B})$
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||||
\item Für jedes $A,B\in \cat{A}$ eine Abbildung $F: \cat{A}(A,B) \to \cat{B}(F(A),F(B))$
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\end{itemize}
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sodass gilt:
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\begin{itemize}
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\item Für $A\in \cat{A}$ ist $F(1_A) = 1_{F(A)}$, d.h. Identitäten werden auf Identitäten abgebildet.
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\item $F$ respektiert Komposition, d.h. $F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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\item
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Die einfachsten Beispiele von Funktoren sind 'vergessliche' Funktoren. Z.B. können wir einen Funktor $F: \textbf{Grp} \to \textbf{Set}$ definieren, indem wir eine Gruppe auf ihre zugehörige Menge schicken, und einen Gruppenhomomorphismus auf die zugehörige Abbildung von Mengen. Wir 'vergessen' also, dass es sich bei unseren Objekten um Gruppen handelt, und dass die Abbildungen diese Gruppenstrukturen erhalten. \\
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Analog finden wir z.B. Funktoren $\textbf{CRing} \to \textbf{Grp}$ oder $\textbf{Vect}_K \to \textbf{Set}$ \\
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\item Sei $G$ eine Gruppe, bzw. $\cat{G}$ die zugehörige Kategorie. Was ist ein Funktor $F : \cat{G} \to \textbf{Set}$ ? (Eine Gruppenwirkung).
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\item Seien $G,H$ Gruppen, dargestellt als Kategorien. Dann ist ein Funktior $\cat{G}\to \cat{H}$ nichts anderes als ein Gruppenhomomorphismus $F: G\to H$
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\item Funktoren $F: \cat{P}\to \cat{Q}$ von partiell geordneten Mengen (bzw. deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
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\begin{thm}
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Funktoren bilden isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte ab.
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\end{thm}
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\begin{lemma}
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Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h. sind $G : \cat{A}\to \cat{B}$ und $F: \cat{B}\to \cat{C}$ Funktoren, so gibt es einen Funktior $F \circ G : \cat{A} \to \cat{C}$, der wie folgt definiert ist:
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\begin{itemize}
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\item Für $A \in \ob(\cat{A})$ ist $F\circ G(A) = F(G(A)) \in \ob(\cat{C})$
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\item Für $f: A \to B$ ist $F\circ G ( f) = F (G( f)) \in \Hom(F\circ G(A), F\circ G(B))$
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\end{itemize}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Leichtes Überprüfen der Funktoreigenschaften.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Damit sind vergessliche Funktoren alles andere als 'trivial' oder 'nutzlos'. Z.b. erhalten wir, dass isomorphe Gruppen insbesondere als Menge isomorph sind. \\
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In der Theorie von endlichen Körpern ist ein entscheidender Schritt im Beweis, dass jeder Körper Mächtigkeit $p^r$ für $p$ prim hat, dass $K$ ein Vektorraum, hier nutzen wir also einen Funktor von der Kategorie der Körper mit gleichem Primkörper in die Kategorie der Vektorräume über diesen Körper.
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\end{remark}
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\begin{example}
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Es gibt auch 'freie' Funktoren, die Struktur 'frei' hinzufügen, also z.B. $F : \textbf{Set} \to \textbf{Grp}$, wobei wir einer Menge die freie Gruppe über ihren Elementen zuordnen (was mit Abbildungen geschieht, ist sehr naheliegend). \\
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Die Abbildung $F: \textbf{Set} \to \textbf{Grp}$, die jeder Menge ihre freie Gruppe zuordnet, und für jede Abbildung $f: X \to Y$ in \textbf{Set} die über die universelle Eigenschaft von $G$ eindeutig bestimmte Abbildung zu $F \circ f : X \to F(Y)$ zuordnet, ist ein 'freier' Funktor:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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X \ar{rr}{F} \ar{d}{f} \ar{drr}{F \circ f} & & F(X) \ar[dotted]{d}{F(f)}\\
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||||
Y \ar[swap]{rr}{F} & & F(Y)
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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\end{example}
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Wir haben nun gesehen, was Kategorien, ihre Abbildungen (Funktoren), und sogar die Abbildungen zwischen Funktioren sind. Wir wollen uns nun noch Gedanken darüber machen, was es bedeutet, wenn wir sagen, dass zwei Objekte 'gleich' sind. Z.B. stellt sich die Frage, ob die Mengen
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\[
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\left \{3,7,11\right\} \quad \left \{\triangle, \square, \bigcirc \right\}
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.\]
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gleich sind. Die Antwort ist wie so oft ein klares 'ja und nein'. Es handelt sich nicht um \textit{dieselben} Mengen, auch nicht um die \textit{gleichen} Mengen, denn die enthaltenen Objekte sind verschidene, aber die Mengen verhalten sich gleich, sie sind \textit{isomorph}. \\
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Das Konzept von Isomorphie kennt man auch von anderen Teilgebieten, die Gruppen $ℤ / 4ℤ$, und der Rotationen von $0,90,180,270$ Grad sind zwar nicht gleich, sie beschreiben semantisch verschiedene Dinge, sind aber \textit{isomorph}, denn sie verhalten sich als Gruppe selbst völlig gleich. Wir haben dies bereits allgemeiner schon gesehen, indem wir gesagt haben
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\begin{definition}
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Zwei Objekte $A,A' \in \cat{A}$ sind isomorph, wenn es $f: A \to A'$ und $g: A' \to A$ gibt, sodass $f\circ g = \id_{A'}$ und $g \circ f = \id_A$ ist.
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\end{definition}
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Zwei Objekte sind also gleich, wenn wir sie gegenseitig aufeinander abbilden können, und dabei die Struktur erhalten. \\
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Das ganze können wir nun ausdehnen und fragen, wann zwei \textit{Funktoren} gleich sind. Wir kennen bereits die Funktiorkategorie $[\cat{A},\cat{B}]$, und eine naheliegende Definition ist somit folgende:
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\begin{definition}
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||||
Zwei Funktoren heißen natürlich isomorph, wenn sie in $[\cat{A},\cat{B}]$ isomorph sind. Einen solchen Isomorphismus $α: F\to G$ für $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ nennen wir dann natürlichen Isomorphismus.
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\end{definition}
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Die Funktoren unterscheiden sich also nur dahingehend, welches von sehr vielen isomorphen Objekten sie einem Objekt $A\in \cat{A}$ zuweisen. Zudem gilt folgendes:
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\begin{prop}
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Eine natürliche Transformation $α:F\to G$ ist genau dann ein natürlicher Isomorphismus, wenn für jedes $A\in \cat{A}$ der Morphismus $α_A$ ein Isomorphismus ist.
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\end{prop}
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\begin{definition}
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||||
Für zwei Funktoren $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ sagen wir, dass $F(A) \cong G(A)$ \textit{natürlich in $\cat{A}$}, wenn $F,G$ natürlich isomorph sind.
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\end{definition}
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Hiermit wollen wir ausdrücken, dass die beiden Objekte $F(A), G(A)$ nicht nur 'einfach' isomorph sind, es gilt sicherlich $F(A) \cong G(A)$ für jedes individuelle $A\in \cat{A}$. Wir können aber zusätzlich noch sagen, dass wir sogar die isomorphismen $α_A: F(A) \to G(A)$ so wählen können, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, dass die Isomorphismen also in ein 'größeres Bild' passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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\item Wir wollen zeigen, dass für einen endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ gilt, dass $V \cong {V ^*}^*$ natürlich isomorph zu seinem doppeltem Dualraum ist. Den 'kanonischen' Isomorphismus, gegeben durch
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\begin{equation*}
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α_V \left| \begin{array}{c c l}
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V & \longrightarrow & \left( V^* \right) ^*\\
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v & \longmapsto & ev_v: \left| \begin{array}{c c l}
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V^* & \longrightarrow & K \\
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f & \longmapsto & ev_v(f) = f(v)
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\end{array} \right.
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\end{array} \right.
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\end{equation*}
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wollen wir also als natürlichen Isomorphismus erhalten. Hierzu betrachten wir also die beiden Funktoren $\id : \textbf{Vect}_K \to \textbf{Vect}_K$ und $F:\textbf{Vect}_K \to \textbf{Vect}_K$, wobei $F$ einen Vektorraum auf seinen doppelten Dualraum schickt. Wir können nun eine natürliche Transformation $α : \id \to F$ definieren, indem wir als unsere Komponenten genau die zuvor definierten Isomorphismen $α_V$ wählen. \\
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Das Nachrechnen, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, ist (per Hand) ein bisschen langwierig nachzurechnen, aber schreibt sich im wesentlichen von selbst, wenn man sich die Definitionen klarmacht und sei dem geneigten Leser überlassen.
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\item Für eine endliche Menge $X$ gibt es genau $n!$ Permutationen auf dieser, und auch genau $n!$ Möglichkeiten, diese in einer Reihe zu ordnen (eine Totalordnung zu bilden). Die Mengen $\Sym (X)$ und $\Ord(X)$ sind also isomorph, da sie gleich viele Element besitzen. Wir wollen im folgenden verstehen, warum die Objekte allerdings nicht natürlich isomorph sind, man benötigt eine 'arbitrary' Wahl, um solch einen Isomorphismus festzulegen, und genau diese Intuition präzisiert die Sprache der Kategorientheorie. \\
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Wir betrachten hierzu die Kategorie $\cat{B}$ aller endlichen Mengen mit Bijektionen zwischen ihnen, und definiren die Funktoren $\Sym : \cat{B}\to \textbf{Set}$ und $\Ord: \cat{B}\to \textbf{Set}$ durch
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\[
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\Sym(X) = \left \{f:X\to X | f \text{ ist Bijektion}\right\} \qquad \Ord(X) = \left \{R \subset \mathcal{P}(X) | R \text{ ist Totalordnung}\right\}
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||||
.\]
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||||
Im zweiteren Fall interpretieren wir (wie üblich) $a\leq b :\iff (a,b) \in R$. Es ergibt sich dann auch für $f:X\to Y$ in der Kategorie $\cat{B}$, dass wir $\Sym(f)(\pi) := f\circ \pi\circ f^{-1}$ definieren, und $\Ord(f)(R) := \left \{(a,b) \in \mathcal{P}(Y) \mid (a^{-1},b^{-1})\in R\subset \mathcal{P}(X)\right\} $. Wir will, kann sich hierzu die kommutativen Diagramme zeichnen und überprüfen, dass es sich um die 'einzig sinnvollen' Funktoren handelt. \\
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Nehmen wir nun an, es gäbe eine natürliche Transformation $α: \textbf{Sym} \to \textbf{Ord}$, denn finden wir Komponenten $α_X$ hiervon. Wir betrachten nun konkret die Menge $X = \left\{1,2\right\} $, und in $\cat{B}$ die Abbildung $τ_{1,2}: X \to X$, wir erhalten also folgendes kommutatives Diagramm:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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X \arrow[]{d}{τ_{1,2}} & & \Sym(X) \arrow[]{r}{α_X} \arrow[swap]{d}{\Sym(τ_{1,2})} & \Ord(X) \arrow[]{d}{\Ord(τ_{1,2})} \\
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||||
X & & \Sym(X) \arrow[swap]{r}{α_X} & \Ord(X)
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Es ist $\Sym(X) = \left \{\id, τ_{1,2}\right\} $, und wir können nachrechnen, dass $\Sym(τ_{1,2}) = \id$ ist (einsetzen in die Definition). Also muss auch $\Ord(τ_{1,2}) = \id$ sein (kommutatives Diagramm!). Das wiederum kann aber nicht sein, denn die Totalordnung $R = \left \{(1,1),(1,2),(2,2)\right\} $ würde durch $\Ord(τ_{1,2})$ auf $\left \{(1,1), (2,1),(2,2)\right\} $ abgebildet werden, Widerspruch. Also gibt es keine solche natürlich Transformation.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{definition}
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Zwei Kategorien $\cat{A},\cat{B}$ heißen äquivalent, wenn es Funktoren $F:\cat{A}\to \cat{B}$ und $G:\cat{B}\to \cat{A}$ gibt, sodass $F \circ G \cong \id_{\cat{B}}$ und $G\circ F \cong \id_{\cat{A}}$ natürlich isomorph zu den Identitätsfunktoren sind.
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\end{definition}
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Hiermit kann man z.B. zeigen, dass die Kategorie $\textbf{FDVect}_K$ der endlich-dimensionalen Vektorräume über einem Körper $K$ äquivalent ist zur Kategorie $\textbf{Mat}$, die als Objekte natürliche Zahlen besitzt, und als Morphismen von $m$ nach $n$ die $n\times m$-Matrizen über dem Körper.
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\subsection{Kategorien und Beispiele}
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\begin{definition}
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Eine Kategorie $\cat{A}$ besteht aus
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\begin{itemize}
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\item Einer Kollektion (Klasse) $\ob(\cat{A})$ von \textit{Objekten} von $\cat{A}$
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\item Für jedes Paar $A,B\in \ob(\cat{A})$ eine Menge $\cat{A}(A,B)$ von \textit{Abbildungen, Morphismen} oder auch einfach \textit{Pfeilen} von $A$ nach $B$
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\item Für alle $A,B,C\in \cat{A}$ eine Abbildung, genannt \textit{Komposition von Morphismen}:
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\begin{equation*}
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\begin{array}{c c l}
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||||
\cat{A}(B,C)\times \cat{A}(A,B) & \longrightarrow & \cat{A}(A,C) \\
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||||
(f,g) & \longmapsto & f\circ g
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\end{array}
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\end{equation*}
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||||
\item Für jedes $A\in \cat{A}$ einen \textit{Identitätsmorphismus}, notiert $1_{A}\in \cat{A}(A,A)$.
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\end{itemize}
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||||
sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:
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\begin{itemize}
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||||
\item \textit{Assziativität:} Für $f\in \cat{A}(A,B)$, $g\in \cat{A}(B,C)$ und $h\in \cat{A}(C,D)$ ist
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||||
\[
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||||
h\circ (g\circ f) = (h\circ g) \circ f
|
||||
.\]
|
||||
\item \textit{Identität} Für $f\in \cat{A}(A,B)$ ist $f\circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f $.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{remark}
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||||
Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in \cat{A}$ für $A\in \ob(\cat{A})$ oder auch $f:A\to B$ für $f\in \cat{A}(A,B)$ schreiben.
|
||||
\end{remark}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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||||
\item Wir werden Kategorien oft als \textit{kommutative Diagramme} darstellen, einfache Beispiele einer Kategorie könnte also so aussehen:
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||||
\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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A \ar{r}{f} \ar{dr}[swap]{g \circ f} & B \ar{d}{g} & & & \bullet \arrow[swap]{dl}{k \circ j } \arrow[swap]{d}{j}\arrow[]{r}{f} \arrow["gf = hj " description]{dr}{} & \bullet \arrow[]{d}{g} \\ & C & & \bullet & \bullet\arrow[]{l}{k} \arrow[]{r}{h} & \bullet
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
Hierbei lassen wir die Identitätsmorphismen weg - wir wissen aber, dass es sie immer gibt, der Übersichtlichkeit halber sind sie also nicht nötig.
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||||
\item Es gibt die Kategorien $\textbf{Grp}$ und $\textbf{Set}$ aller Gruppen bzw. Mengen, wobei Morphismen durch Gruppenhomomorphismen bzw. durch Abbildungen gegeben sind.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{example}
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\begin{remark}
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||||
Hier wird auch Klar, warum wir nicht fordern, dass $\ob(\cat{A})$ eine Menge ist, denn die 'Menge aller Mengen' existiert nicht. Um die Kategorie aller Mengen zu definieren, benötigen wir also die 'Klasse aller Mengen'.
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||||
\end{remark}
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||||
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||||
Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
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||||
\begin{example}
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Sei $\cat{A}$ eine Kategorie mit nur einem Objekt. Wir können uns $\cat{A}$ also vorstellen als ein Objekt und alle seine Selbstabbildungen, in etwa:
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||||
\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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||||
\bullet \ar[loop left]{}{f} \ar[loop above]{}{\id} \ar[loop right]{}{g} \ar[loop below]{}{f \circ g}
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben). Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen es gibt, und wie diese verknüpft werden. Eigentlich ist diese Kategorie also eine Menge $\cat{A}(\bullet,\bullet)$ von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser. In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}. Also
|
||||
\end{example}
|
||||
\begin{cor}
|
||||
Eine Kategorie mit einem Element ist ein Monoid.
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||||
\end{cor}
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||||
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\begin{definition}
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||||
Ein Morphismus $f:A\to B$ ist ein Isomorphismus, wenn es ein $g:B\to A$ gibt mit $f\circ g = \id_B$ und $g\circ f = \id_A$.
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||||
\end{definition}
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||||
Hiermit ergibt sich auch schnell:
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\begin{cor}
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||||
Eine Kategorie mit einem Element, bei der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ist eine Gruppe.
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||||
\end{cor}
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||||
\begin{remark}
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Man kann sich das ganze wirklich wie folgt vorstellen: Eine Gruppe ist ein Objekt und die Angabe aller seiner Selbst-Symmetrien. Wenn ich zwei Symmetrien anwende, dann ist das eine weiter Symmetrie, und jede Symmetrie kann man rückgängig machen. \\
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||||
Es ist völlig unerheblich, ob man eine Gruppe als 'Menge von Elementen' oder als 'Menge von Selbstabbildungen' interpretiert, es handelt sich einfach um verschieden Perspektiven.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sei $P$ eine Partialordnung auf einer Menge $M$. Wir konstruieren eine zugehörige Kategorie, indem wir $\ob(\cat{A}) = M$ setzen, und eine Abbildung von $f:A\to B$ genau dann existieren soll, wenn $A\leq B$ in der Partialordnung gilt. Insbesondere gibt es also zwischen zwei Objekten höchstens eine Abbildung. \\
|
||||
Die Verknüpfung von Abbildungen entspricht der Transitivität der Partialordnung. \\
|
||||
Umgekehrt können wir auch aus jeder Kategorie, bei der zwischen je zwei Objekten höchstens ein Pfeil existiert und bei der keine 2 Objekte isomorph sind, eine Partialordnung auf der Menge ihrer Objekte ableiten. (Oder, wenn wir nicht fordern, dass die Elemente paarweise nicht isomorph sind, auf der Menge ihrer Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie). Das ganze könnte dann wie folgt aussehen, wenn wir den Teilerverband von $126$ betrachten:
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
|
||||
|
||||
& 1\ar["1 \mid 2 " description]{dl} \arrow["1 \mid 7 " description]{d}{} \arrow["1 \mid 3 " description]{dr}{} \\
|
||||
2\ar[]{d} \ar[]{dr} & 7\ar[]{dl}\ar[no head]{dr} & 3\ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \ar[no head]{dr} \\
|
||||
14 \ar[no head]{dr} & 6 \ar[no head]{d} \ar[no head]{dr} & 21\ar[no head]{dl} \ar[no head]{dr} & 9 \ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \\
|
||||
& 42\ar[no head]{dr} & 18\ar[no head]{d} & 63\ar[no head]{dl} \\
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||||
& & 126
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
\end{example}
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||||
wobei wir die Kompositionspfeile weggelassen haben. Das ganze könnte auch so aussehen:
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\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
& & a \arrow[loop above]{}{\id_a} \arrow["a \leq d" description]{dddd} \arrow["a\leq b" description]{ddll}{}\arrow["a\leq c" description]{ddrr}{} \\
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||||
\\
|
||||
b \arrow[loop above]{}{\id_b} & & & & c\arrow[loop right]{}{\id_c}\arrow["c\leq d" description]{ddll}{} \\
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||||
\\
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& & d \arrow[loop below]{}{\id_d}
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||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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\subsection{Universelle Eigenschaften in Kategorien}
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Wir wollen nun Objekte in Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' charakterisieren. Aus der Mengenlehre kennen wir das Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$. Aber was macht dieses Produkt speziell, bzw. besonders? Jedes Element aus $X\times Y$ 'beschreibt ein Paar von Elementen aus $X$ und $Y$. Wie lässt sich dies mit Abbildungen ausdrücken? Elemente aus $X,Y$ können wir durch Abbildungen $f:M\to X$ und $f:M\to Y$ beschreiben, und wir erhalten eine (eindeutige) Abbildung, die nun von $M\to X\times Y$ abbildet:
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\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
& & & X \\
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||||
M \ar[swap]{drrr}{h} \ar{urrr}{g} \ar[dotted, "\exists ! f" description]{rr} & & X\times Y \ar[swap]{ur}{\pi_X} \ar{dr}{\pi_Y} \\
|
||||
& & & Y
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
Um den Zusammenhang zwischen $X\times Y$ und $X,Y$ zu beschreiben, benötigen wir noch die jeweiligen Projektionsabbildungen auf die beiden Mengen. Wir können also folgendes definieren:
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\begin{definition}
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||||
Seien $X,Y\in \cat{A}$ gegeben. Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und $\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für jedes Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{remark}
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Wichtig ist, dass zum Produkt nicht nur das Objekt selbst, sondern auch die beiden Projektionsabbildungen gehören. In \textbf{Set} mag dies zwar 'unnötig' erscheinen, weil die Projektionen sehr kanonisch sind, im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.
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||||
\end{remark}
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||||
Wichtig ist nun vor allem folgendes:
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\begin{thm}
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||||
Seien $X,Y\in \cat{A}$ gegeben. Existiert das Produkt $(P,\pi_X, \pi_Y)$, so ist dieses bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, d.h. für $(P',τ_X,τ_Y)$ ein weiters Produkt, gibt es einen Isomorphismus $f:P\to P'$, sodass auch $τ_X \circ f = π_X$ und $τ_Y \circ f = π_Y$, also
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
& & X \\
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||||
P\ar{urr}{\pi_X} \ar{drr}[swap]{\pi_Y} \ar["\exists f" description]{r} & P'\ar{ur}[swap]{τ_X} \ar{dr}{τ_Y} \\
|
||||
& & Y
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
\end{thm}
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||||
\begin{proof}
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Im Vortrag mit folgendem Diagramm:
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}[sep=huge]
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||||
& X \\
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||||
P_1\arrow[]{ur}{\pi_X^1}\arrow[swap]{dr}{\pi_Y^1} \arrow[]{r}{f} & P_2\arrow["\pi_X^2" description]{u}{}\arrow["\pi_Y^2" description]{d}{}\arrow[]{r}{g} & P_1 \arrow[swap]{ul}{\pi_X^1}\arrow[]{dl}{\pi_Y^2} \\
|
||||
& Y
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
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||||
\end{proof}
|
||||
\begin{remark}
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||||
Mit diesem Satz wird die 'alternative' Formulierung des Produkts zweier Objekte erst wirklich nützlich. Wir sind in der Lage, $X\times Y$ ausschließlich kategorientheoretisch zu charakteriesieren, ohne auf die Objekte selbst einzugehen. Wir können also in \textit{jeder} Kategorie sagen, was ein Produkt ist, nicht nur in \textbf{Set}.
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||||
\end{remark}
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||||
\begin{example}
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||||
Beispiele von Produkten in Kategorien:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item In \textbf{Set} ist das Produkt genau $X\times Y$
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||||
\item In \textbf{Grp} ist das Produkt das Gruppenprodukt $G\times H$
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||||
\item In $\textbf{Vect}_K$ ist das Produkt $V\oplus W$, die direkte Summe der Vektorräume.
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||||
\item Ist $\mathcal{P}$ eine Kategorie, die die Partialordnung $P$ auf $M$ darstellt, so ist das Produkt von zwei Elementen $a,b$ durch ihr Infimum gegeben (größte untere Schranke).
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
Ein weiteres wichtiges Konzept in der Kategorientheorie ist das der 'Opposite-Kategorie'. Aus jeder Kategorie können wir ihre duale Kategorie konstruieren, indem wir alle Pfeile umdrehen. Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
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||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
Das Koprodukt von $X,Y$ ist ein Objekt $X+Y$, zusammen mit Einbettungen $ι_X : X \to X+Y$ sowie $ι_Y : Y \to X+Y$, sodass es für jede Abbildungen $g: X \to M$ und $h:Y\to M$ eine eindeutig bestimmte Abbildung $f:X+Y\to M$ gibt, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
X \ar[swap]{dr}{ι_X} \ar{drrr}{g}\\
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||||
& X+Y \ar[dotted,"\exists !f" description]{rr} & & M \\
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||||
Y \ar{ur}{ι_Y} \ar[swap]{urrr}{h}
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
|
||||
und dieses ist, falls existent, eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus.
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{proof}
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Folgt aus dem Satz über das Produkt unter Verwendung der 'Opposite Kategorie'.
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||||
\end{proof}
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\begin{recap}
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||||
\textbf{Aufgabe:} Finde das Koprodukt in \textbf{Set}.
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||||
\end{recap}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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||||
\item
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||||
Man kann die freie Gruppe (Ring, Körper, etc) über einer Menge kategorientheoretisch sehr schön definieren. Sei hierzu $X$ eine Menge. Eine freie Gruppe über $X$ ist eine Gruppe $G$ mit einer Einbettung $ι: X \to G$, sodass es für jede Gruppe $H$ und jede Abbildung (nicht von Gruppen) $g: X\to H$ einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $f : G \to H$ gibt. Also
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
G \arrow[dashed, "\exists ! f \text{ Gruppenhom}" description]{rrrr} & & & & H \\
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||||
X \arrow[hook]{u}{ι} \arrow[swap]{urrrr}{g}
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||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
Man stellt fest, dass es hierbei völlig unerheblich ist, was die Wörter \textit{Gruppe} und Gruppenhomomorphismus eigentlich bedeuten, außer dass es sich um ein Objekt mit Struktur handelt, und eine Abbildung, die diese erhält. \\
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||||
Die freie Gruppe über einer Menge $X$ kann man sich hierbei noch als 'Wörter mit Buchstaben aus X' vorstellen (wobei es 'negative' Buchstaben gibt), besonders wenn es sich um kompliziertere Strukturen handelt, ist es allerdings nicht leicht, die entsprechenden freien Objekte anderweitig zu verstehen oder explizit zu konstruieren, kategorientheoretisch passiert jedoch immer dasselbe, und die Eindeutigkeit zeigt man auch stets gleich.
|
||||
\item Wir betrachten ein weiteres Beispiel, das sogenannte Tensorprodukt. Über zwei Vektorräumen $V,W$ (allgemeiner: Moduln) über dem gleichen Körper (allgemeiner: Ring), können wir das Tensorprodukt $V \otimes W$ einführen, es stellt eine 'universelle bilineare Abbildung dar', und hat die folgende universelle Eigenschaft:
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
V \otimes W \ar[dotted, "\exists ! f \text{ linear}" description]{rrr} & & & M \\
|
||||
V \times W \ar{u}{ι \text{ linear}} \ar{urrr}[swap]{g \text{ bilinear}}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{example}
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||||
|
||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
Ein Objekt $A\in \ob(\cat{A})$ heißt \textit{initial}, falls es für jedes $B\in \ob(\cat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$ gibt. \\
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||||
Ein Objekt $A$ heißt \textit{terminal}, falls es für jedes $B$ genau einen Morphismus $f: B\to A$ gibt.
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{recap}
|
||||
\textbf{Aufgabe.} Finde die initialen und terminalen Objekte in \textbf{Set}, \textbf{Grp}, \textbf{CRing} und einer partiell geordneten Menge.
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||||
\end{recap}
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||||
85
inputs/transformationen.tex
Normal file
85
inputs/transformationen.tex
Normal file
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|
@ -0,0 +1,85 @@
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|||
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||||
\begin{definition}
|
||||
Seien $\cat{A},\cat{B}$ zwei Kategorien, und $F: \cat{A}\to \cat{B}$ sowie $G:\cat{A}\to \cat{B}$ zwei Funktoren zwischen diesen. Eine \textit{natürliche Transoformation} $α: F \to G$ ist eine Familie $α_A : F(A) \to G(A) $ für jedes $A\in \cat{A}$, genannt \textit{Komponente} von $α$ (an $A$), sodass für jede Abbildung $f:A\to A'$ das folgende Diagramm kommutiert:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}
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||||
F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A} & F(A') \ar{d}{α_{A'}} \\
|
||||
G(A) \ar[swap]{r}{G(f)} & G(A')
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
Wir wollen also, dass wir auf \textbf{eindeutige Weise} wissen, wie wir von $F(A)$ zu $G(A')$ gelangen (wenn wir wissen, wie wir von $A$ zu $A'$ gelangen).
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{remark}
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||||
Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie $\cat{B}$ sind. \\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}
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||||
\cat{A} \ar[bend left = 50, ""{name=U,below}] {r}{F} \ar[bend right = 50, swap, ""{name = D}]{r}{G}& \cat{B}
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||||
\arrow[from = U, to =D, Rightarrow,yshift=1.5]{}{α}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
und meinen, dass $α$ eine natürliche Trasformation der Funktioren $F,G: \cat{A}\to \cat{B}$ ist.
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||||
\end{remark}
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||||
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||||
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
|
||||
\item
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||||
Wir wollen sehen, dass die 'Determinante' als natürliche Transformation aufgefasst werden kann. Zunächst konstruieren wir zwei Funktoren $\textbf{CRing} \to \textbf{Monoid}$. \\
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||||
Für jeden Ring bilden die $n\times n$-Matrizen über diesem Ring einen Monoiden unter der Multiplikation. Ist zudem $F:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so können wir diesen zu einem Morphismus $M_n(R) \to M_n(S)$ erweitern, indem wir elementweise abbilden. Die Funktoreigenschaften überprüft man leicht, wir erhalten also einen Funktor $M_n: \textbf{CRing} \to \textbf{Mon}$. \\
|
||||
Zudem betrachten wir den vergesslichen Funktor $U: \textbf{CRing} \to \textbf{Mon}$, der einfach die Additive Struktur vergisst und somit aus einem Ring seinen multiplikativen Monoid zurückgibt. Dies definiert also $U: \textbf{CRing} \to \textbf{Set}$. \\
|
||||
Um nun eine nätürliche Transformation $α:M_n \to F$ anzugeben, müssen wir für jeden Ring $R$ ein $α_R: M_n(R) \to U(R)$ angeben, wir wählen die Determinantenabbildung, die einer Matrix ihre Determinante zuordnet. Dies ist eine Abbildung in \textbf{Mon}, da die Determinante multiplikativ ist.\\
|
||||
Dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, bedeutet genau, dass folgendes kommutiert:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}
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||||
M_n(R) \ar[swap]{d}{\det} \ar{r}{M_n(f)} & M_n(S) \ar{d}{\det} \\
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||||
U(R) \ar[swap]{r}{U(f)} & U(S)
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
und wiederspiegelt, dass die Abbildung $\det $ für jeden Ring gleich definiert ist, formal steckt folgende Identität dahinter:
|
||||
\[
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||||
f\left(\sum_{σ\in \mathfrak{S}_n} \sgn σ \cdot \prod_{i=1}^{n} x_{i,ο(i)} \right) =
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||||
\sum_{σ\in \mathfrak{S}_n} \sgn \sigma \cdot \prod_{i=1}^{n} f(x_{i,ο(i)})
|
||||
.\]
|
||||
was daraus folgt, dass $f$ Ringhomomorphismus ist. \\
|
||||
Man spricht also davon, dass die Transformation 'natürlich ist', weil sie 'gleich' für alle Objekte definiert ist, und man nicht nur jedes $F(A)$ 'irgendwie' in ein $G(A)$ überführt.
|
||||
\item Wir wissen bereits, dass für eine Gruppe $G$ und ihre zugehörende Kategorie $\cat{G}$ ein Funktor $S: \cat{G}\to \textbf{Set}$ eine Gruppenwirkung ist. Sei $T:\cat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher Funktor. Was ist eine natürliche Transformation
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\cat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right = 50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set}
|
||||
\arrow[from = U, to = D, Rightarrow, yshift = 1.5]{}{α}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
Es handelt sich um eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede Abbildung $g\in \cat{G}$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
α \circ S(g) = T(g) \circ α
|
||||
.\]
|
||||
(als Abbildung $S(\star) \to T(\star)$), man spricht von einer $G$-äquivarianten Abbildung, d.h. sie preserviert die Gruppenwirkung.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{example}
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||||
|
||||
\begin{lemma}
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||||
Man kann natürlich Transformationen verknüpfen, d.h. sind $F,G,H : \cat{A}\to \cat{B}$ Funktoren und ist $α:F\to G$ sowie $β:G\to H$ eine natürliche Transformation, so gibt es eine Transformation $β\circ α: F \to H$, die wir durch
|
||||
\[
|
||||
(β\circ α)_{A} = β_A \circ α_A
|
||||
.\]
|
||||
definieren.
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||||
\end{lemma}
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||||
\begin{proof}
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||||
Wir überprüfen, dass die Naturalität gegeben ist, hierzu zeichnen wir für $f:A\to A'$ das Diagramm
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A}\ar[bend right = 70,swap]{dd}{(β\circ α)_A} & F(A')\ar{d}{α_{A'}} \ar[ bend left = 70]{dd}{(β\circ α)_{A'}}\\
|
||||
G(A) \ar{r}{G(f)} \ar[swap]{d}{β_A} & G(A') \ar{d}{β_{A'}} \\
|
||||
H(A) \ar{r}{H(f)} & H(A')
|
||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
Da die obere und untere Hälfte jeweils kommutieren, kommutiert auch das gesamte Diagramm und es ist $β\circ α$ eine natürliche Transformation.
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||||
\end{proof}
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\begin{definition}
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||||
Für zwei Kategorien $\cat{A},\cat{B}$ können wir die \textit{Funktor-Kategorie} $[\cat{A},\cat{B}]$ definieren, die Objekte bestehen aus den Funktoren $F:\cat{A}\to \cat{B}$, die Morphismen zwischen Objekten $F,G$ sind natürliche Transformationen $α: F \to G$zwischen ihnen.
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||||
\end{definition}
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\begin{example}
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Sei $\cat{G}$ eine Gruppe. Die Funktorkategorie $[\cat{G}, \textbf{Set}]$ ist die Kategorie aller linken $G$-Mengen, zusammen mit den G-equivarianten Abbildungen zwischen diesen Mengen.
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||||
\end{example}
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