Mathecamp/Kategorientheorie
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Maximilian Keßler 2022-02-17 13:43:39 +01:00
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11
inputs/funktoren.tex
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@ -1,5 +1,6 @@
Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die
Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
\begin{definition}
Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien.
Ein Funktor $F: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ besteht aus
@ -10,8 +11,10 @@ Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
Für jedes
$A,B\in \mathcat{A}$ eine Abbildung $F: \mathcat{A}(A,B) \to
\mathcat{B}(F(A),F(B))$
\end{itemize}
\end{itemize}
sodass gilt:
\begin{itemize}
\item
Für
@ -21,6 +24,7 @@ Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
$F$ respektiert Komposition, d.h. $F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
\item
@ -53,11 +57,13 @@ Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
\end{enumerate}
\end{example}
Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
\begin{theorem}
Funktoren bilden isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte ab.
\end{theorem}
\begin{lemma}
Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h.
sind $G : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ und $F:
@ -73,9 +79,11 @@ Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
G(B))$
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
Leichtes Überprüfen der Funktoreigenschaften.
\end{proof}
\begin{remark}
Damit sind vergessliche Funktoren alles andere als 'trivial' oder 'nutzlos'.
Z.b.
@ -103,3 +111,4 @@ Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{example}

40
inputs/gleichheit.tex
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@ -14,27 +14,30 @@ Es handelt sich nicht um \textit{dieselben} Mengen, auch nicht um die
\textit{gleichen} Mengen, denn die enthaltenen Objekte sind verschidene,
aber
die Mengen verhalten sich gleich, sie sind \textit{isomorph}.
\\
Das Konzept von Isomorphie kennt man auch von anderen Teilgebieten, die Gruppen
$\ensuremath{\mathbb{Z}} / 4\ensuremath{\mathbb{Z}}$, und der Rotationen von
$0,90,180,270$ Grad sind zwar nicht gleich, sie beschreiben semantisch
verschiedene Dinge, sind aber \textit{isomorph}, denn sie verhalten sich
als Gruppe selbst völlig gleich.
Wir haben dies bereits allgemeiner schon gesehen, indem wir gesagt haben
\begin{definition}
Zwei Objekte $A,A' \in \mathcat{A}$ sind isomorph, wenn es
$f: A \to A'$ und $g: A' \to A$ gibt, sodass $f\circ g =
$f: A \to A'$ und $g: A' \to A$ gibt, sodass $f\circ g =
\id_{A'}$ und $g
\circ f = \id_A$ ist.
\end{definition}
Zwei Objekte sind also gleich, wenn wir sie gegenseitig aufeinander abbilden
können, und dabei die Struktur erhalten.
\\
Das ganze können wir nun ausdehnen und fragen, wann zwei \textit{Funktoren}
gleich sind.
Wir kennen bereits die Funktiorkategorie
$[\mathcat{A},\mathcat{B}]$, und eine
naheliegende Definition ist somit folgende:
\begin{definition}
Zwei Funktoren
heißen natürlich isomorph, wenn sie in $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$
@ -44,20 +47,24 @@ naheliegende Definition ist somit folgende:
\mathcat{B}$
nennen wir dann natürlichen Isomorphismus.
\end{definition}
Die Funktoren unterscheiden sich also nur dahingehend, welches von sehr vielen
isomorphen Objekten sie einem Objekt $A\in \mathcat{A}$ zuweisen.
Zudem gilt folgendes:
\begin{proposition}
Eine natürliche Transformation
$α:F\to G$ ist genau dann ein natürlicher Isomorphismus, wenn für jedes $A\in
\mathcat{A}$ der Morphismus $α_A$ ein Isomorphismus ist.
\end{proposition}
\begin{definition}
Für zwei Funktoren $F,G: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ sagen
wir, dass $F(A)
\cong G(A)$ \textit{natürlich in $\mathcat{A}$}, wenn $F,G$ natürlich isomorph
sind.
\end{definition}
Hiermit wollen wir ausdrücken, dass die beiden Objekte $F(A), G(A)$ nicht nur
'einfach' isomorph sind, es gilt sicherlich $F(A) \cong G(A)$ für jedes
individuelle $A\in \mathcat{A}$.
@ -65,6 +72,7 @@ Wir können aber zusätzlich noch sagen, dass wir sogar die isomorphismen $α_A:
F(A) \to G(A)$ so wählen können, dass es sich um eine natürliche
Transformation handelt, dass die Isomorphismen also in ein 'größeres Bild'
passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
\begin{example}
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
\item
@ -74,11 +82,12 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
Den 'kanonischen' Isomorphismus, gegeben durch
\begin{equation*}
α_V \left|
\begin{array}{c c l} V & \longrightarrow & \left( V^* \right) ^* \\ v &
\longmapsto & ev_v: \left|
\begin{array}{c c l} V^* & \longrightarrow & K
\\ f & \longmapsto & ev_v(f) = f(v)
\end{array}
\begin{array}{c c l} V & \longrightarrow
& \left( V^* \right) ^* \\ v & \longmapsto & ev_v: \left|
\begin{array}{c c l} V^* & \longrightarrow & K \\ f & \longmapsto & ev_v(f) =
f(v)
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
@ -92,7 +101,7 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
Wir können nun eine natürliche Transformation $α : \id \to F$ definieren,
indem wir als unsere Komponenten genau die zuvor definierten Isomorphismen
$α_V$ wählen.
\\
Das Nachrechnen, dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, ist
(per Hand) ein bisschen langwierig nachzurechnen, aber schreibt sich im
wesentlichen von selbst, wenn man sich die Definitionen klarmacht und sei dem
@ -108,7 +117,7 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
isomorph sind, man benötigt eine 'arbitrary' Wahl, um solch einen Isomorphismus
festzulegen, und genau diese Intuition präzisiert die Sprache der
Kategorientheorie.
\\
Wir betrachten hierzu die Kategorie $\mathcat{B}$ aller endlichen
Mengen mit Bijektionen zwischen ihnen, und definiren die Funktoren $\Sym :
\mathcat{B}\to \textbf{Set}$ und $\Ord:
@ -129,7 +138,7 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
\mathcal{P}(X)\right\} $.
Wir will, kann sich hierzu die kommutativen Diagramme zeichnen und überprüfen,
dass es sich um die 'einzig sinnvollen' Funktoren handelt.
\\
Nehmen wir nun an, es gäbe eine natürliche Transformation $α:
\textbf{Sym} \to \textbf{Ord}$, denn finden wir
Komponenten $α_X$ hiervon.
@ -137,13 +146,16 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
$\mathcat{B}$ die Abbildung $τ_{1,2}: X \to X$, wir erhalten also
folgendes
kommutatives Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
X \arrow[]{d}{τ_{1,2}} & &
\Sym(X) \arrow[]{r}{α_X} \arrow[swap]{d}{\Sym(τ_{1,2})} & \Ord(X)
\arrow[]{d}{\Ord(τ_{1,2})} \\ X & & \Sym(X) \arrow[swap]{r}{α_X} & \Ord(X)
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{tikzcd}
\end{center}
Es ist $\Sym(X) = \left \{\id, τ_{1,2}\right\} $, und
wir können nachrechnen, dass $\Sym(τ_{1,2}) = \id$ ist (einsetzen in
die
@ -157,6 +169,7 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
Also gibt es keine solche natürlich Transformation.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{definition}
Zwei Kategorien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ heißen
äquivalent, wenn es Funktoren
@ -166,6 +179,7 @@ passen, das sich über die gesamte Kategorie erstreckt.
\id_{\mathcat{A}}$
natürlich isomorph zu den Identitätsfunktoren sind.
\end{definition}
Hiermit kann man z.B.
zeigen, dass die Kategorie $\textbf{FDVect}_K$ der endlich-dimensionalen
Vektorräume über einem Körper $K$ äquivalent ist zur Kategorie

45
inputs/kategorien.tex
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@ -1,6 +1,7 @@
\subsection{Kategorien und Beispiele}
\begin{definition}
Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus
\begin{itemize}
\item
Einer Kollektion
@ -19,7 +20,7 @@
\begin{array}{c c l}
\mathcat{A}(B,C)\times \mathcat{A}(A,B) & \longrightarrow & \mathcat{A}(A,C) \\
(f,g) & \longmapsto & f\circ g
\end{array}
\end{array}
\end{equation*}
\item
Für jedes $A\in \mathcat{A}$ einen
@ -60,7 +61,8 @@
\arrow[swap]{dl}{k \circ j } \arrow[swap]{d}{j}\arrow[]{r}{f} \arrow["gf = hj "
description]{dr}{} & \bullet \arrow[]{d}{g} \\ & C & & \bullet &
\bullet\arrow[]{l}{k} \arrow[]{r}{h} & \bullet
\end{tikzcd}
\end{tikzcd}
\end{center}
Hierbei lassen wir die Identitätsmorphismen weg - wir wissen aber, dass es sie
immer gibt, der Übersichtlichkeit halber sind sie also nicht nötig.
@ -92,7 +94,8 @@ Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
\bullet \ar[loop left]{}{f} \ar[loop
above]{}{\id} \ar[loop right]{}{g} \ar[loop below]{}{f \circ g}
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{center}
(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben).
Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen
es gibt, und wie diese verknüpft werden.
@ -100,7 +103,8 @@ Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser.
In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}.
Also
\end{example}
\end{example}
\begin{corollary}
Eine Kategorie mit einem Element ist ein
Monoid.
@ -111,6 +115,7 @@ Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
mit $f\circ g = \id_B$ und $g\circ f = \id_A$.
\end{definition}
Hiermit ergibt sich auch schnell:
\begin{corollary}
Eine Kategorie mit einem
Element, bei der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ist eine Gruppe.
@ -144,21 +149,25 @@ Hiermit ergibt sich auch schnell:
ihrer Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie).
Das ganze könnte dann wie folgt aussehen, wenn wir den Teilerverband von $126$
betrachten:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& 1\ar["1 \mid 2 " description]{dl} \arrow["1 \mid 7 " description]{d}{}
\arrow["1 \mid 3 " description]{dr}{} \\ 2\ar[]{d} \ar[]{dr} &
\arrow["1 \mid 3 " description]{dr}{} \\ 2\ar[]{d} \ar[]{dr} &
7\ar[]{dl}\ar[no head]{dr} & 3\ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \ar[no
head]{dr} \\ 14 \ar[no head]{dr} & 6 \ar[no head]{d} \ar[no head]{dr} &
21\ar[no head]{dl} \ar[no head]{dr} & 9 \ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \\
& 42\ar[no head]{dr} & 18\ar[no
& 42\ar[no head]{dr} & 18\ar[no
head]{d} & 63\ar[no head]{dl} \\ & & 126
\end{tikzcd}
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{example}
\end{example}
wobei wir die Kompositionspfeile weggelassen haben.
Das ganze könnte auch so aussehen:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& & a
@ -181,6 +190,7 @@ Wie lässt sich dies mit Abbildungen ausdrücken?
Elemente aus $X,Y$ können wir durch Abbildungen $f:M\to X$ und $f:M\to Y$
beschreiben, und wir erhalten eine (eindeutige) Abbildung, die nun von $M\to
X\times Y$ abbildet:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& & & X \\ M
@ -192,11 +202,12 @@ X\times Y$ abbildet:
Um den Zusammenhang zwischen $X\times Y$ und $X,Y$ zu beschreiben, benötigen
wir noch die jeweiligen Projektionsabbildungen auf die beiden Mengen.
Wir können also folgendes definieren:
\begin{definition}
Seien $X,Y\in
\mathcat{A}$ gegeben.
Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und
$\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für
$\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für
jedes
Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig
bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
@ -209,6 +220,7 @@ Wir können also folgendes definieren:
kanonisch sind, im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.
\end{remark}
Wichtig ist nun vor allem folgendes:
\begin{theorem}
Seien $X,Y\in \mathcat{A}$
gegeben.
@ -226,15 +238,18 @@ Wichtig ist nun vor allem folgendes:
\end{theorem}
\begin{proof}
Im Vortrag mit folgendem Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}[sep=huge] & X
\\ P_1\arrow[]{ur}{\pi_X^1}\arrow[swap]{dr}{\pi_Y^1} \arrow[]{r}{f} &
P_2\arrow["\pi_X^2" description]{u}{}\arrow["\pi_Y^2"
description]{d}{}\arrow[]{r}{g} & P_1
\arrow[swap]{ul}{\pi_X^1}\arrow[]{dl}{\pi_Y^2} \\ & Y
\arrow[swap]{ul}{\pi_X^1}\arrow[]{dl}{\pi_Y^2} \\ & Y
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{proof}
\end{proof}
\begin{remark}
Mit diesem Satz wird die 'alternative'
Formulierung des Produkts zweier Objekte erst wirklich nützlich.
@ -246,6 +261,7 @@ Wichtig ist nun vor allem folgendes:
\end{remark}
\begin{example}
Beispiele von Produkten in Kategorien:
\begin{itemize}
\item
In \textbf{Set}
@ -272,8 +288,8 @@ Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
\begin{definition}
Das Koprodukt von $X,Y$ ist ein Objekt $X+Y$, zusammen
mit Einbettungen $ι_X : X \to X+Y$ sowie $ι_Y : Y \to X+Y$, sodass es für
jede Abbildungen $g: X \to M$ und $h:Y\to M$ eine eindeutig bestimmte
Abbildung $f:X+Y\to M$ gibt, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
jede Abbildungen $g: X \to M$ und $h:Y\to M$ eine eindeutig
bestimmte Abbildung $f:X+Y\to M$ gibt, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
X \ar[swap]{dr}{ι_X} \ar{drrr}{g}\\ & X+Y
@ -304,6 +320,7 @@ Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
G$, sodass es für jede Gruppe $H$ und jede Abbildung (nicht von Gruppen) $g:
X\to H$ einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $f : G \to H$ gibt.
Also
\begin{center}
\begin{tikzcd}
G \arrow[dashed, "\exists !
@ -342,7 +359,7 @@ Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
\begin{definition}
Ein Objekt $A\in \Ob(\mathcat{A})$ heißt \textit{initial}, falls
es für jedes
$B\in \Ob(\mathcat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$
$B\in \Ob(\mathcat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$
gibt.
\\
Ein Objekt $A$ heißt \textit{terminal}, falls es für jedes $B$ genau

33
inputs/transformationen.tex
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@ -10,12 +10,14 @@
\textit{Komponente} von
$α$ (an $A$), sodass für jede Abbildung $f:A\to A'$ das folgende Diagramm
kommutiert:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A} &
F(A') \ar{d}{α_{A'}} \\ G(A) \ar[swap]{r}{G(f)} & G(A')
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{center}
Wir wollen also, dass wir auf \textbf{eindeutige Weise} wissen,
wie wir von $F(A)$ zu $G(A')$ gelangen (wenn wir wissen, wie wir von $A$ zu
$A'$ gelangen).
@ -23,8 +25,7 @@
\begin{remark}
Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie
$\mathcat{B}$
sind.
$\mathcat{B}$ sind.
\\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
@ -37,7 +38,6 @@
\end{remark}
\begin{example}
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
\item
@ -49,7 +49,8 @@
Für jeden Ring bilden die $n\times n$-Matrizen über diesem Ring einen Monoiden
unter der Multiplikation.
Ist zudem $F:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so können wir diesen zu einem
Morphismus $M_n(R) \to M_n(S)$ erweitern, indem wir elementweise abbilden.
Morphismus $M_n(R) \to M_n(S)$ erweitern, indem wir elementweise
abbilden.
Die Funktoreigenschaften überprüft man leicht, wir erhalten also einen Funktor
$M_n: \textbf{CRing} \to \textbf{Mon}$.
\\
@ -70,8 +71,10 @@
\begin{tikzcd}
M_n(R) \ar[swap]{d}{\det} \ar{r}{M_n(f)} & M_n(S) \ar{d}{\det} \\ U(R)
\ar[swap]{r}{U(f)} & U(S)
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{tikzcd}
\end{center}
und wiederspiegelt, dass
die Abbildung $\det $ für jeden Ring gleich definiert ist, formal steckt
folgende Identität dahinter:
@ -91,16 +94,19 @@
Sei $T:\mathcat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher
Funktor.
Was ist eine natürliche Transformation
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\mathcat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right =
50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set} \arrow[from = U, to = D,
Rightarrow, yshift = 1.5]{}{α}
\end{tikzcd}
\end{tikzcd}
\end{center}
Es handelt sich um
eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede Abbildung
$g\in \mathcat{G}$ gilt:
eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede
Abbildung $g\in \mathcat{G}$ gilt:
\[
α \circ S(g) = T(g) \circ α .
\]
@ -123,6 +129,7 @@
\begin{proof}
Wir überprüfen, dass die Naturalität gegeben ist, hierzu zeichnen wir für
$f:A\to A'$ das Diagramm
\begin{center}
\begin{tikzcd}
F(A) \ar{r}{F(f)}
@ -130,8 +137,10 @@
F(A')\ar{d}{α_{A'}} \ar[ bend left = 70]{dd}{(β\circ α)_{A'}}\\ G(A)
\ar{r}{G(f)} \ar[swap]{d}{β_A} & G(A') \ar{d}{β_{A'}} \\ H(A) \ar{r}{H(f)} &
H(A')
\end{tikzcd}
\end{center}
\end{tikzcd}
\end{center}
Da die obere und untere Hälfte jeweils
kommutieren, kommutiert auch das gesamte Diagramm und es ist $β\circ α$ eine
natürliche Transformation.