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2020_Kategorientheorie.tex

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-\documentclass[10pt,ngerman]{article}
+\documentclass[10pt,ngerman, twoside=false]{scrbook}
 
 \title{Crashkurs: Kategorientheorie}
 \author{Maximilian Keßler}
@@ -7,28 +7,35 @@
 
 \begin{document}
 
+\frontmatter
+
 \maketitle
 
-\input{inputs/abstract}
+\chapter{Preface}
+\input{inputs/preface}
 
 \cleardoublepage
 \tableofcontents
 
 \cleardoublepage
 
-\section{Was ist eine Kategorie?}
+\mainmatter
+
+\chapter{Was ist eine Kategorie?}
 \input{inputs/kategorien}
 
-\section{Abbildungen zwischen Kategorien: Funktoren}
+\chapter{Abbildungen zwischen Kategorien: Funktoren}
 \input{inputs/funktoren}
 
-\section{Natürliche Transformationen}
+\chapter{Natürliche Transformationen}
 \input{inputs/transformationen}
 
 
-\section{Natürliche Transformationen}
+\chapter{Natürliche Transformationen}
 \input{inputs/gleichheit}
 
+\backmatter
+
 \begin{thebibliography}{9}
 \bibitem{Leinster} Tom Leinster, \textit{Basic Category Theory}, University of Edinburgh, 30.12.2016, arXiv 1612.09375 Abrufbar unter \url{https://arxiv.org/abs/1612.09375}
     \bibitem{Chen} Evan Chen, \textit{An Infinitely Large Napkin}, abrufbar unter \url{http://web.evanchen.cc/napkin.html}

inputs/abstract.tex

@@ -1,35 +0,0 @@
-\begin{abstract}
-    Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen.
-    Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit
-    Struktur, z.B.
-    Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach
-    Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie
-    \textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten,
-    d.h.
-    ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den
-    einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
-    Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine
-    Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen)
-    zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben.
-    Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern
-    vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so
-        besonders?
-    } oder auch
-    \textit{Welche (tollen)
-        Eigenschaften hat dieses Objekt}.
-    Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten.
-    \\
-    Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann
-    sind zwei Objekte identisch, wann gleich?
-    Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen
-    oder ganze Kategorien beantworten.
-    Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B.
-    die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge
-    ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht
-    \textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie
-    \textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter
-    Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
-    Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte
-    wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch
-    formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.
-\end{abstract}

inputs/kategorien.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\subsection{Kategorien und Beispiele}
+\section{Kategorien und Beispiele}
 \begin{definition}
     Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus
 
@@ -179,7 +179,7 @@ Das ganze könnte auch so aussehen:
 \end{center}
 
 
-\subsection{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in
+\section{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in
 Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' charakterisieren.
 Aus der Mengenlehre kennen wir das Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$.
 Aber was macht dieses Produkt speziell, bzw.

inputs/preface.tex

@@ -0,0 +1,33 @@
+Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen.
+Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit
+Struktur, z.B.
+Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach
+Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie
+\textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten,
+d.h.
+ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den
+einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
+Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine
+Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen)
+zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben.
+Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern
+vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so
+    besonders?
+} oder auch
+\textit{Welche (tollen)
+    Eigenschaften hat dieses Objekt}.
+Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten.
+\\
+Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann
+sind zwei Objekte identisch, wann gleich?
+Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen
+oder ganze Kategorien beantworten.
+Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B.
+die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge
+ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht
+\textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie
+\textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter
+Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
+Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte
+wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch
+formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.