diff --git a/2020_Kategorientheorie.tex b/2020_Kategorientheorie.tex index 22ab4bc..4ca1086 100644 --- a/2020_Kategorientheorie.tex +++ b/2020_Kategorientheorie.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[10pt,ngerman]{article} +\documentclass[10pt,ngerman, twoside=false]{scrbook} \title{Crashkurs: Kategorientheorie} \author{Maximilian Keßler} @@ -7,28 +7,35 @@ \begin{document} +\frontmatter + \maketitle -\input{inputs/abstract} +\chapter{Preface} +\input{inputs/preface} \cleardoublepage \tableofcontents \cleardoublepage -\section{Was ist eine Kategorie?} +\mainmatter + +\chapter{Was ist eine Kategorie?} \input{inputs/kategorien} -\section{Abbildungen zwischen Kategorien: Funktoren} +\chapter{Abbildungen zwischen Kategorien: Funktoren} \input{inputs/funktoren} -\section{Natürliche Transformationen} +\chapter{Natürliche Transformationen} \input{inputs/transformationen} -\section{Natürliche Transformationen} +\chapter{Natürliche Transformationen} \input{inputs/gleichheit} +\backmatter + \begin{thebibliography}{9} \bibitem{Leinster} Tom Leinster, \textit{Basic Category Theory}, University of Edinburgh, 30.12.2016, arXiv 1612.09375 Abrufbar unter \url{https://arxiv.org/abs/1612.09375} \bibitem{Chen} Evan Chen, \textit{An Infinitely Large Napkin}, abrufbar unter \url{http://web.evanchen.cc/napkin.html} diff --git a/inputs/abstract.tex b/inputs/abstract.tex deleted file mode 100644 index b13936a..0000000 --- a/inputs/abstract.tex +++ /dev/null @@ -1,35 +0,0 @@ -\begin{abstract} - Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen. - Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit - Struktur, z.B. - Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach - Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie - \textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten, - d.h. - ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den - einzelnen Objekten zu untersuchen. \\ - Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine - Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen) - zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben. - Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern - vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so - besonders? - } oder auch - \textit{Welche (tollen) - Eigenschaften hat dieses Objekt}. - Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten. - \\ - Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann - sind zwei Objekte identisch, wann gleich? - Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen - oder ganze Kategorien beantworten. - Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B. - die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge - ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht - \textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie - \textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter - Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\ - Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte - wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch - formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen. -\end{abstract} diff --git a/inputs/kategorien.tex b/inputs/kategorien.tex index 76aef2c..1972351 100644 --- a/inputs/kategorien.tex +++ b/inputs/kategorien.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\subsection{Kategorien und Beispiele} +\section{Kategorien und Beispiele} \begin{definition} Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus @@ -179,7 +179,7 @@ Das ganze könnte auch so aussehen: \end{center} -\subsection{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in +\section{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' charakterisieren. Aus der Mengenlehre kennen wir das Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$. Aber was macht dieses Produkt speziell, bzw. diff --git a/inputs/preface.tex b/inputs/preface.tex new file mode 100644 index 0000000..9fae084 --- /dev/null +++ b/inputs/preface.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen. +Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit +Struktur, z.B. +Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach +Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie +\textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten, +d.h. +ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den +einzelnen Objekten zu untersuchen. \\ +Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine +Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen) +zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben. +Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern +vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so + besonders? +} oder auch +\textit{Welche (tollen) + Eigenschaften hat dieses Objekt}. +Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten. +\\ +Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann +sind zwei Objekte identisch, wann gleich? +Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen +oder ganze Kategorien beantworten. +Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B. +die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge +ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht +\textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie +\textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter +Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\ +Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte +wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch +formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.