sprague grundy theory anfangen

2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex

@@ -15,11 +15,20 @@
 
 \input{inputs/themen}
 
-\chapter{Einige Spiele}
+\chapter{Einige einführende Spiele}
 \input{inputs/einige_spiele}
 
 \chapter{Games}
-\input{inputs/games.tex}
+\input{inputs/games}
+
+\chapter{Sprague-Grundy Theorie}
+\input{inputs/sprague_grundy}
+
+\chapter{Spiele als Zahlen}
+\input{inputs/games_rechnen}
+
+\chapter{Surreale Zahlen}
+\input{inputs/surreale_zahlen}
 
 
 \end{document}

combinatorial-game-theory.sty

@@ -11,11 +11,15 @@
 \usepackage{mkessler-vocab}
 \usepackage{mkessler-math}
 \usepackage{mkessler-enumerate}
+\usepackage{mkessler-hypersetup}
 
 %%% Environment setup
 \usepackage[number in = chapter]{fancythm}
 \NewFancyTheorem[style = thmgreenmarginandfill, group = big]{game}
 \NewFancyTheorem[style = thmblackmarginandfill, group = big]{talk}
+\NewFancyTheorem[style = thmblackmargin, group = big]{sanity-check}
+
+\AddProvidedFancyTheoremToGroup{remark}{big}
 
 
 %%% Custom macros for this project

inputs/einige_spiele.tex

@@ -7,6 +7,7 @@ Etwas informell meinen wir mit \vocab{Spiel} im Folgenden immer Folgendes:
   \item Beide Parteien verfügen über absolutes Wissen über den Zustand und die Regeln des Spiels
   \item Das Spiel enthält keinen Zufall
 \end{itemize}
+
 Aus was ein \vocab{Zug} besteht, hängt natürlich davon ab, welches Spiel gerade gespielt wird.
 Meistens verliert diejenige Partei, die zuerst nicht mehr ziehen kann.
 Das nennt man dann \vocab{Normalspiel}, es gibt aber auch andere Varianten, wie wir sehen werden.
@@ -26,7 +27,7 @@ Eigentlich sollte man auch fordern, dass es kein \enquote{Unentschieden} in den
 Das kann man aber dadurch umgehen, indem wir z.B.~einfach sagen, dass bei einem klassischen
 \enquote{Unentschieden} eine vorher gewählte der beiden Parteien gewinnt.
 
-\section{Subtraktionsspiel}
+\section{\gm{Subtraktionsspiel}}
 
 Folgendes Spiel scheint recht verbreitet zu sein und hat eine nicht allzu schwere
 Gewinnstrategie:
@@ -158,7 +159,8 @@ Man kann das ganze aber auch schwerer gestalten:
   und jeder Zug führt somit zu einer ungeraden Zahl.
 \end{proof}
 
-\section{Nim}
+\section{\gm{Nim}}
+\label{sec:nim-einfuehrung}
 
 \gm{Nim} ist vermutlich eines der bekanntesten Spiele der kombinatorischen Spieltheorie.
 Auch hier wollen wir zunächst ein bisschen selber spielen und dann eine allgemeine Theorie aufbauen.
@@ -227,7 +229,7 @@ Hierzu benötigen wir:
   Damit ist $x \nimsum a_i < a_i$ wie gewünscht.
 \end{proof}
 
-\section{Hackenbush}
+\section{\gm{Hackenbush}}
 
 \begin{game}[\gm{Hackenbush (beherrscht)}]
   Gespielt wird mit einer Anordnung von \vocab{Stäben} (Kanten),
@@ -241,17 +243,184 @@ Hierzu benötigen wir:
 
 Wir werden hier (erstmal) nicht das Ziel haben, alle Positionen von Hackenbush zu klassifizieren.
 
-\begin{talk}
+\begin{example}
-  Hier einige erste Positionen diskutieren und darüber
+  Positionen $0$, $1$.
-  \begin{itemize}
+\end{example}
-    \item ganze Zahlen motivieren
+
-    \item Addition von Hackenbush-Positionen
+\begin{definition}
-    \item Dyadische Zahlen
+  Das Negative einer Hackenbush-Position entsteht durch Vertauschen der Farben
-  \end{itemize}
+  aller Stäbe.
-\end{talk}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  $-1 = -(1)$.
+  Das mag erstmal sehr verwirrend aussehen, ist aber dem Fakt geschuldet,
+  dass wir das Negativ der Position \enquote{$1$} bereits mit $-1$ benannt haben,
+  wobei hier das \enquote{$-$} ein \emph{Vorzeichen} ist,
+  wohingegen bei $-(1)$ tatsächlich das \emph{Negative} des Spiels $1$ gemeint ist.
+  Unsere Notation ist also so suggestiv, dass wir nicht mehr zwischen den beiden
+  Dingen unterscheiden müssen/\allowbreak{}wollen/\allowbreak{}können.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+  \label{def:spiele-vorzeichen-0-fuzzy}
+  Sei $G$ ein Spiel. Dann sagen wir, dass
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item $G$ \vocab{positiv} ist, wenn die linke Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
+      Wir schreiben hierbei $G>0$.
+    \item $G$ \vocab{negativ} ist, wenn die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
+      Wir schreiben $G<0$.
+    \item $G$ \vocab{Null} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die zweite Spielerin gibt.
+      Wir schreiben $G=0$.
+%    \item $G$ \vocab{fuzzy} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die erste Spielerin gibt.
+%      Wir schreiben $G \fuzzy 0$.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{notation}
+  Wir schreiben $\equiv $ für die Übereinstimmung von Spielen.
+  Das heißt, $G \equiv H$ bedeutet,
+  dass die legalen Züge von $G$ und $H$ in Bijektion stehen.
+\end{notation}
+
+\begin{remark}
+  Noch haben wir keine genaue Definition von Spiel gesehen, mehr dazu später.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+  Wir können also feststellen, dass $-1 < 0$ und $0 < 1$.
+  Beachte, dass die \enquote{$0$}, die in dieser Schreibweise auftaucht,
+  erstmal rein formal ist, und nicht das Nullspiel, das wir auch definiert hatten.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+  Die Summe von zwei Hackenbush-Positionen entsteht durch deren Vereinigung.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  $G + 0 \equiv 0$, denn das Nullspiel hat keine legalen Züge.
+  In $G + 0$ wird also letztendlich auch nur in der Position von $G$ gezogen,
+  das Spiel läuft also gleich ab.
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+  \label{lm:addition-respektiert-groessergleich-null}
+  Ist $G \geq 0$ und $H \geq  0$, dann ist auch $G + H \geq 0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+  Fängt die rechte Spielerin an,
+  so kann die linke beide Spiele gewinnen, indem sie immer in dem Teilspiel mit einem
+  Zug antwortet, in dem die rechte Spielerin gerade gezogen hat.
+  Weil sie beide Teilspiele gewinnt, hat sie dadurch immer einen legalen Zug und gewinnt
+  somit letztendlich auch die Summe.
+  Fängt die linke Spielerin an, so gibt es nichts zu zeigen.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+  Wir sagen, dass zwei Hackenbush Positionen \vocab{gleich} sind,
+  wenn sie sich spieltechnisch gleich verhalten.
+  Das heißt, $G = H$ steht für $G + (-H) = 0$
+  im Sinne von 
+  \autoref{def:spiele-vorzeichen-0-fuzzy}.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  $ 1 + (-1) = 0$
+\end{example}
+
+\begin{abuse}
+  Wir können jetzt außerdem feststellen,
+  dass wir die \enquote{$0$} in $G < 0$ jetzt sowohl als die formale Null
+  als auch das Nullspiel verstehen können.
+  Denn $G + (-0) \equiv G$, und damit ist $G < 0$ (mit Nullspiel) genau als $G < 0$
+  (mit formaler Null) definiert.
+  In Zukunft werden wir also nicht mehr zwischen den beiden unterscheiden.
+\end{abuse}
+
+\begin{proposition}
+  \label{prop:hackenbush-kleinergleich-respektiert-gleichheit}
+  Die Relation \enquote{$=$} ist eine Äquivalenzrelation auf den \gm{Hackenbush}-Spielen,
+  das heißt:
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item $G = G$ für jedes Spiel $G$
+    \item Ist $G = H$, so ist auch $H = G$
+    \item Ist $G = H$ und $H = I$, so auch $G = I$
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  TODO
+\end{proof}
+
+Außerdem können wir jetzt unsere Definition von $<$ ausweiten:
+
+\begin{definition}
+  Sind $G$ und $H$ zwei Hackenbush Spiele, so schreiben wir $G < H$ für $G - H  < 0$,
+  wenn also die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie in $G - H$ hat.
+\end{definition}
+
+An dieser Stelle sollten wir uns davon überzeugen,
+dass sich $\leq $ mit Addition und Subtraktion so verhält,
+wie man es erwarten würde:
 
 
-\begin{game}[\gm{Hackenbush (Mischmasch)}]
+\begin{proposition}
+  \label{prop:hackenbush-bildet-geordnete-abelsche-gruppe}
+  Die \gm{Hackenbush}-Spiele bilden mittels \enquote{$+$} und \enquote{$\leq $}
+  eine (partiell) geordnete, abelsche Gruppe.
+  Das heißt:
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item \enquote{$+$} ist kommutativ und assoziativ
+    \item Jede Position $P$ hat eine negative Position $-P$ mit $P + (-P) = 0$.
+    \item Aus $G \leq H$ und $H \leq  G$ folgt $G = H$.
+    \item Die Ordnung ist mit $\leq $ verträglich, d.h.
+      \[
+        G_1 \leq G_2 \qquad \iff \qquad G_1 + H \leq G_2 + H
+      \] 
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  Dass die Addition kommutativ und assoziativ ist, ist bildlich sofort klar.
+
+  Wir zeigen als nächstes, dass $P + (-P)$ ein Nullspiel ist,
+  als Gewinnstrategie für die zweite Spielerin kann sie einfach die Züge der ersten
+  Spielerin im jeweils anderen Spiel kopieren:
+  Zieht die erste Spielerin in $P$, so zieht die zweite in $-P$ und umgekehrt.
+  Damit garantiert sie, dass nach ihrem Zug immer wieder zwei zueinander negative Positionen
+  vorhanden sind, und sie diese Strategie fortsetzen kann.
+  Die zweite Spielerin verliert also nicht, und gewinnt somit, weil das Spiel endlich%
+  \footnotemark
+  ist.
+
+  Ist $G \leq H$, so gilt $G = H$ (und wir sind fertig) oder $G < H$.
+  Analog sind wir fertig oder es gilt $H < G$.
+  $H < G$ und $G < H$ können aber nicht gleichzeitig eintreten,
+  denn es können natürlich nicht beide Spielerinnen eine Gewinnstrategie haben.
+
+  Zunächst wollen wir nun zeigen, dass die Ordnung überhaupt \enquote{$=$} respektiert.
+  Sei hierzu $G \leq H$ und $G = G'$, Dann ist $G - H \geq 0$ und $G ' - G = 0$,
+  also nach \autoref{lm:addition-respektiert-groessergleich-null} $G' - H \geq 0$,
+  also $G' \geq H$.
+
+  Jetzt ist $G_1 + H \leq G_2 + H$ nach Definition äquivalent zu $G_1 + H - (G_2 + H) \leq 0$,
+  also wegen (i) zu $G_1 - G_2 \leq 0$, was genau $G_1 \leq G_2$ entspricht.
+\end{proof}
+\footnotetext{Mehr dazu später, momentan wollen wir das einfach annehmen}
+
+\begin{remark}
+  Wir behaupten an dieser Stelle nur, dass die Ordnung partiell ist.
+  In der Tat handelt es sich hier um eine Totalordnung, aber das ist nicht trivial
+  und liegt am konkreten Spiel, lässt sich also nicht wie unsere allgemeinen Ergebnisse
+  später verallgemeinern, wie wir noch sehen werden.
+\end{remark}
+
+
+\section{\gm{Hackenbush Mischmasch}}
+
+
+\begin{game}[\gm{Hackenbush Mischmasch}]
   Dieses Spiel verhält sich grundsätzlich wie Hackenbush,
   allerdings gibt es jetzt auch grüne Stäbe,
   die von beiden Spielerinnen entfernt werden dürfen.
@@ -260,6 +429,8 @@ Wir werden hier (erstmal) nicht das Ziel haben, alle Positionen von Hackenbush z
 \begin{talk}
   Jetzt darüber diskutieren, dass wir \enquote{komische} Positionen erhalten werden:
   \begin{itemize}
+    \item Nim ist eine Teilmenge von Hackenbush geworden
     \item $\nimber 1 \fuzzy 0$
+    \item up, down schon einführen?
   \end{itemize}
 \end{talk}

inputs/games.tex

@@ -1,5 +1,9 @@
 \section{Ein abstrakter Blickpunkt auf Spiele}
 
+Ziel dieses Kapitels soll es sein, einen formalen Standpunkt auf Spiele zu entwickeln
+und unsere Beobachtungen über die bisherigen Spiele, insbesondere Hackenbush,
+auf standfesten Boden zu bekommen.
+
 \begin{definition}
   Ein \vocab{Spiel} $G$ besteht aus einer Menge von Positionen
   und einer ausgezeichneten Startposition.
@@ -61,9 +65,6 @@
     \frac{1}{2^n} = \set{ 0 \suchthat \frac{1}{2^{n-1}} } 
   \end{gather*}
   etc.
-  Wir haben noch nicht definiert, wie Spiele \emph{geordnet} sind,
-  aber anhand der suggestiven Benennungen können wir schon vermuten,
-  wie die bisher bekannten Spiele sich verhalten.
 \end{example}
 
 \begin{remark}
@@ -108,19 +109,6 @@ Weil die Notation offensichtlich Redundanz enthält, stellen wir Folgendes fest:
 
 Wir wollen nun erste Schritte unternehmen, um Spiele ganz \emph{formal} zu klassifizieren:
 
-\begin{definition}
-  Sei $G$ ein Spiel. Dann sagen wir, dass
-  \begin{enumerate}[p]
-    \item $G$ \vocab{positiv} ist, wenn die linke Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
-      Wir schreiben hierbei $G>0$.
-    \item $G$ \vocab{negativ} ist, wenn die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
-      Wir schreiben $G<0$.
-    \item $G$ \vocab{Null} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die zweite Spielerin gibt.
-      Wir schreiben $G=0$.
-    \item $G$ \vocab{fuzzy} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die erste Spielerin gibt.
-      Wir schreiben $G \fuzzy 0$.
-  \end{enumerate}
-\end{definition}
 
 \begin{notation}
   Schreibe $G \geq 0$ für $G = 0$ oder $G > 0$, analog $G \leq 0$.
@@ -131,6 +119,7 @@ Wir wollen nun erste Schritte unternehmen, um Spiele ganz \emph{formal} zu klass
 Relevant ist nun Folgendes:
 
 \begin{theorem}
+  \label{thm:vergleichbarkeit-von-spielen}
   Für jedes Spiel $G$ gilt genau eines von $G>0$, $G<0$, $G = 0$ und $G \fuzzy 0$.
 \end{theorem}
 
@@ -138,8 +127,8 @@ Relevant ist nun Folgendes:
   Klarerweise können nicht zwei der vier Fälle gleichzeitig eintreten.
   Wir gehen induktiv vor, sei $G$ also ein Spiel,
   sodass wir die Aussage für alle linken und rechten Position von $G$ bereits kennen.
-  Sei also $G$ beliebig und nimm zunächst an, dass $G^L \geq 0$ für ein $G^L$.
+  Sei also $G$ beliebig und nimm zunächst an,
-  Nimm zunächst an, die linke Spielerin ist am Zug.
+  die linke Spielerin ist am Zug.
   Gibt es ein $G^L$ mit $G^L \geq 0$, so kann $L$ gewinnen, indem es diese Position wählt.
   Ist $G^L \lfuzzy 0$ für jedes $G^L$, so gewinnt $R$, indem er danach die Gewinnstrategie
   in der von links gewählten Position verfolgt.
@@ -149,7 +138,7 @@ Relevant ist nun Folgendes:
 
   \begin{center}
     \begin{tabular}{c | c | c}
-      & $\exists  G^L \geq 0$ & $\forall G^L \geq 0$
+      & $\exists  G^L \geq 0$ & $\forall G^L \lfuzzy 0$
       \\
       \hline
       $\exists  G^R \leq 0$ & $G \fuzzy 0$ & $G < 0$
@@ -182,6 +171,71 @@ Relevant ist nun Folgendes:
 \end{talk}
 
 
-\section{Addition von Spielen}
+\section{Addition und Negative von Spielen}
 
-\section{}
+Wir wollen uns jetzt in etwas allgemeinerem Kontext nochmal ansehen,
+wie wir Spiele addieren und negieren konnten,
+so wie wir das bei Hackenbush getan haben.
+
+\begin{definition}[Addition von Spielen]
+  Seien $G$ und $H$ zwei Spiele.
+  Die (disjunkte) \vocab{Summe} von $G$ und $H$ entsteht als neues Spiel wie folgt:
+  Eine Position von $G + H$ ist ein Paar von Positionen aus $G$ und $H$.
+  Ein Zug besteht nun daraus, eine der beiden Positionen zu wählen und in ihr
+  einen (für die entsprechende Spielerin) legalen Zug zu machen.
+  In jedem Zug ändert sich also nur eine der beiden Positionen des Paars.
+  Verloren hat (wie immer), wer keinen Zug mehr machen kann,
+  wer also in \emph{beiden} Positionen des Paares keinen Zug mehr machen kann.
+\end{definition}
+
+\begin{sanity-check}
+  Überzeuge dich, dass das mit unserer bisherigen Definition im Falle von Hackenbush übereinstimmt.
+\end{sanity-check}
+
+\begin{remark}
+  Es kann jetzt vorkommen,
+  dass in $G + H$ in der Position von $G$ zweimal hintereinander die gleiche Spielerin zieht.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[Negatives eines Spiels]
+  Ist $G$ ein Spiel, so ist das Negative von $G$,
+  notiert $-G$ dasjenige Spiel $G$, in dem die legalen Züge der beiden Spielerinnen
+  vertauscht werden.
+\end{definition}
+
+\begin{sanity-check}
+  Überzeuge dich auch hier, dass das mit der bisherigen Position übereinstimmt.
+\end{sanity-check}
+
+Wir können nun
+\autoref{prop:hackenbush-kleinergleich-respektiert-gleichheit}
+und
+\autoref{prop:hackenbush-bildet-geordnete-abelsche-gruppe}
+unmittelbar verallgemeinern.
+
+\begin{proposition}
+  \label{prop:kleinergleich-respektiert-gleichheit}
+  Die Relation \enquote{$=$} ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der Spiele,
+  das heißt:
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item $G = G$ für jedes Spiel $G$
+    \item Ist $G = H$, so ist auch $H = G$
+    \item Ist $G = H$ und $H = I$, so auch $G = I$
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}
+  \label{prop:games-bildet-geordnete-abelsche-gruppe}
+  Die Klasse der Spiele bildet mittels \enquote{$+$} und \enquote{$\leq $}
+  eine (partiell) geordnete, abelsche Gruppe.
+  Das heißt:
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item \enquote{$+$} ist kommutativ und assoziativ
+    \item Jede Position $P$ hat eine negative Position $-P$ mit $P + (-P) = 0$.
+    \item Aus $G \leq H$ und $H \leq  G$ folgt $G = H$.
+    \item Die Ordnung ist mit $\leq $ verträglich, d.h.
+      \[
+        G_1 \leq G_2 \qquad \iff \qquad G_1 + H \leq G_2 + H
+      \] 
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}

inputs/games_rechnen.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+Ziel dieses Kapitels soll es werden, mit Spielen noch formeller umzugehen
+und sie vielmehr als Zahlen zu behandeln.
+Wir spielen also nicht mehr wirklich, sondern rechnen vor allem.
+
+Einerseits müssen wir jetzt zum dritten Mal über unsere Definitionen von Addition und Gleichheit
+etc.~nachdenken und viele formale Methoden verwenden.
+Allerdings werden wir letztendlich auch einige verblüffende Erkenntnisse erreichen,
+wenn wir uns darauf einlassen.
+
+\begin{definition}[Summe von Spielen]  
+  Seien $G$ und $H$ zwei Spiele.
+  Dann definiere ihre \vocab{Summe} als
+  \[
+    G + H \coloneqq \set{ G^L + H, G + H^L \suchthat G^R + H, G + H^R } 
+  \] 
+  .
+\end{definition}
+
+\begin{notation}
+  Wir schreiben hier als linke Position $G^L + H$.
+  Damit meinen wir eigentlich die Menge aller Position $G^L + H$,
+  wobei $G^L$ eine linke Position von $G$ ist, also
+  \[
+    G^L + H = \set{ P + H \suchthat \text{$P$ ist linke Position von $G$} } 
+  \]
+  Die linken Positionen von $G + H$
+  sind also die Vereinigungen der beiden aufgelisteten Mengen.
+\end{notation}
+
+\begin{example}
+  Auch diese Definition ist wieder äußerst rekursiv und bedarf einiger Beispiele.
+  Zunächst ist $0 + 0 = 0$, weil $G^L$ etc~gar nicht existieren, also leere Mengen auf
+  beiden Seiten entstehen.
+  Damit können wir nun induktiv $G + 0 = G$ für jedes Spiel $G$ zeigen.
+  Das macht auch Sinn, denn im Nullspiel kann ja keine der beiden Parteien ziehen,
+  $G$ und ein leeres Spiel gleichzeitig zu spielen, sollte also wieder $G$ selbst sein.
+\end{example}

inputs/sprague_grundy.tex

@@ -0,0 +1,58 @@
+Wir wollen uns in diesem Kapitel der Theorie von neutralen Spielen widmen.
+Die Theorie ist im wesentlichen \enquote{komplett}:
+Wir kennen bis auf Gleichheit alle neutralen Spiele und wissen,
+wie diese sich unter Addition verhalten.
+
+Eine andere Frage ist es natürlich, zu einem gegebenen Spiel zu entscheiden,
+welches (der bekannten) es denn nun ist.
+Diese werden wir im Allgemeinen nicht beantworten können.
+
+Zunächst stellen wir fest:
+
+\begin{proposition}
+  \label{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0}
+  Sei $G$ ein neutrales Spiel.
+  Dann gilt:
+  \begin{enumerate}[h]
+    \item $G + G = 0$, also $ G = -G$.
+    \item $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$.
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  Der erste Punkt folgt sofort aus der Neutralität von $G$.
+  In $-G$ sind ja die Züge vertauscht. Da sie aber gleich sind, ändert sich natürlich nichts.
+  $G + G = 0$ ist dann einfach eine Umformulierung dessen.
+
+  Nimm für $2)$ an, es wäre $G < 0$.
+  Addition von $G$ auf beiden Seiten liefert dann wegen $1)$, dass $0 = G + G < G$,
+  ein Widerspruch zu $G < 0$.
+  Analog führt natürlich $G > 0$ zum Widerspruch.
+
+  Also folgt mit
+  \autoref{thm:vergleichbarkeit-von-spielen},
+  dass $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$ ist wie gewünscht.
+\end{proof}
+
+
+\section{\gm{Nim}}
+
+Wir haben in
+\autoref{sec:nim-einfuehrung}
+bereits die Gewinn- und Verluststellungen von \gm{Nim} analysiert.
+Eine Gewinnstellung ist in formaler Sprache eine Stellung $G$ mit $G \fuzzy 0$,
+eine Verluststellung eine mit $G = 0$.
+Weitere Möglichkeiten gibt es nach \autoref{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0} nicht.
+
+Aber nicht jede Gewinnstellung ist gleich!
+Wir wissen zum Beispiel, dass ein einzelner Münzstapel (mit einer positiven Anzahl an Münzen)
+immer eine Gewinnstellung ist (indem wir den Stapel einfach wegnehmen).
+Aber Stapel mit unterschiedlicher Höhe verhalten sich nicht gleich,
+wenn man sie nebeneinander stellt.
+Unter Spieladdition müssen wir also, um mehr zu verstehen, noch feiner unterscheiden als nur in
+$G = 0$ und $ G \fuzzy 0 $.
+
+Definiere hierzu zunächst $\nimber n$ (sprich: \enquote{nimber})
+als dasjenige Nim-Spiel, das aus einem Münzstapel mit $n$
+Münzen besteht.
+Jedes Nim-Spiel ist also also Spielsumme von einzelnen nimbers, nämlich den vorkommenden Stapeln.