From d3d84a8fcb8017a56f22157776a739c99a8c5970 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Maximilian=20Ke=C3=9Fler?= Date: Fri, 19 Aug 2022 21:21:20 +0200 Subject: [PATCH] sprague grundy theory anfangen --- 2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex | 13 +- combinatorial-game-theory.sty | 4 + inputs/einige_spiele.tex | 195 ++++++++++++++++++++++++-- inputs/games.tex | 96 ++++++++++--- inputs/games_rechnen.tex | 37 +++++ inputs/sprague_grundy.tex | 58 ++++++++ inputs/surreale_zahlen.tex | 0 7 files changed, 368 insertions(+), 35 deletions(-) create mode 100644 inputs/games_rechnen.tex create mode 100644 inputs/sprague_grundy.tex create mode 100644 inputs/surreale_zahlen.tex diff --git a/2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex b/2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex index 9886e0d..eea236c 100644 --- a/2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex +++ b/2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex @@ -15,11 +15,20 @@ \input{inputs/themen} -\chapter{Einige Spiele} +\chapter{Einige einführende Spiele} \input{inputs/einige_spiele} \chapter{Games} -\input{inputs/games.tex} +\input{inputs/games} + +\chapter{Sprague-Grundy Theorie} +\input{inputs/sprague_grundy} + +\chapter{Spiele als Zahlen} +\input{inputs/games_rechnen} + +\chapter{Surreale Zahlen} +\input{inputs/surreale_zahlen} \end{document} diff --git a/combinatorial-game-theory.sty b/combinatorial-game-theory.sty index 285054b..4075c9d 100644 --- a/combinatorial-game-theory.sty +++ b/combinatorial-game-theory.sty @@ -11,11 +11,15 @@ \usepackage{mkessler-vocab} \usepackage{mkessler-math} \usepackage{mkessler-enumerate} +\usepackage{mkessler-hypersetup} %%% Environment setup \usepackage[number in = chapter]{fancythm} \NewFancyTheorem[style = thmgreenmarginandfill, group = big]{game} \NewFancyTheorem[style = thmblackmarginandfill, group = big]{talk} +\NewFancyTheorem[style = thmblackmargin, group = big]{sanity-check} + +\AddProvidedFancyTheoremToGroup{remark}{big} %%% Custom macros for this project diff --git a/inputs/einige_spiele.tex b/inputs/einige_spiele.tex index 4876aa3..238157b 100644 --- a/inputs/einige_spiele.tex +++ b/inputs/einige_spiele.tex @@ -7,6 +7,7 @@ Etwas informell meinen wir mit \vocab{Spiel} im Folgenden immer Folgendes: \item Beide Parteien verfügen über absolutes Wissen über den Zustand und die Regeln des Spiels \item Das Spiel enthält keinen Zufall \end{itemize} + Aus was ein \vocab{Zug} besteht, hängt natürlich davon ab, welches Spiel gerade gespielt wird. Meistens verliert diejenige Partei, die zuerst nicht mehr ziehen kann. Das nennt man dann \vocab{Normalspiel}, es gibt aber auch andere Varianten, wie wir sehen werden. @@ -26,7 +27,7 @@ Eigentlich sollte man auch fordern, dass es kein \enquote{Unentschieden} in den Das kann man aber dadurch umgehen, indem wir z.B.~einfach sagen, dass bei einem klassischen \enquote{Unentschieden} eine vorher gewählte der beiden Parteien gewinnt. -\section{Subtraktionsspiel} +\section{\gm{Subtraktionsspiel}} Folgendes Spiel scheint recht verbreitet zu sein und hat eine nicht allzu schwere Gewinnstrategie: @@ -158,7 +159,8 @@ Man kann das ganze aber auch schwerer gestalten: und jeder Zug führt somit zu einer ungeraden Zahl. \end{proof} -\section{Nim} +\section{\gm{Nim}} +\label{sec:nim-einfuehrung} \gm{Nim} ist vermutlich eines der bekanntesten Spiele der kombinatorischen Spieltheorie. Auch hier wollen wir zunächst ein bisschen selber spielen und dann eine allgemeine Theorie aufbauen. @@ -227,7 +229,7 @@ Hierzu benötigen wir: Damit ist $x \nimsum a_i < a_i$ wie gewünscht. \end{proof} -\section{Hackenbush} +\section{\gm{Hackenbush}} \begin{game}[\gm{Hackenbush (beherrscht)}] Gespielt wird mit einer Anordnung von \vocab{Stäben} (Kanten), @@ -241,17 +243,184 @@ Hierzu benötigen wir: Wir werden hier (erstmal) nicht das Ziel haben, alle Positionen von Hackenbush zu klassifizieren. -\begin{talk} - Hier einige erste Positionen diskutieren und darüber - \begin{itemize} - \item ganze Zahlen motivieren - \item Addition von Hackenbush-Positionen - \item Dyadische Zahlen - \end{itemize} -\end{talk} +\begin{example} + Positionen $0$, $1$. +\end{example} + +\begin{definition} + Das Negative einer Hackenbush-Position entsteht durch Vertauschen der Farben + aller Stäbe. +\end{definition} + +\begin{example} + $-1 = -(1)$. + Das mag erstmal sehr verwirrend aussehen, ist aber dem Fakt geschuldet, + dass wir das Negativ der Position \enquote{$1$} bereits mit $-1$ benannt haben, + wobei hier das \enquote{$-$} ein \emph{Vorzeichen} ist, + wohingegen bei $-(1)$ tatsächlich das \emph{Negative} des Spiels $1$ gemeint ist. + Unsere Notation ist also so suggestiv, dass wir nicht mehr zwischen den beiden + Dingen unterscheiden müssen/\allowbreak{}wollen/\allowbreak{}können. +\end{example} + +\begin{definition} + \label{def:spiele-vorzeichen-0-fuzzy} + Sei $G$ ein Spiel. Dann sagen wir, dass + \begin{enumerate}[p] + \item $G$ \vocab{positiv} ist, wenn die linke Spielerin eine Gewinnstrategie hat. + Wir schreiben hierbei $G>0$. + \item $G$ \vocab{negativ} ist, wenn die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie hat. + Wir schreiben $G<0$. + \item $G$ \vocab{Null} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die zweite Spielerin gibt. + Wir schreiben $G=0$. +% \item $G$ \vocab{fuzzy} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die erste Spielerin gibt. +% Wir schreiben $G \fuzzy 0$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{notation} + Wir schreiben $\equiv $ für die Übereinstimmung von Spielen. + Das heißt, $G \equiv H$ bedeutet, + dass die legalen Züge von $G$ und $H$ in Bijektion stehen. +\end{notation} + +\begin{remark} + Noch haben wir keine genaue Definition von Spiel gesehen, mehr dazu später. +\end{remark} + +\begin{example} + Wir können also feststellen, dass $-1 < 0$ und $0 < 1$. + Beachte, dass die \enquote{$0$}, die in dieser Schreibweise auftaucht, + erstmal rein formal ist, und nicht das Nullspiel, das wir auch definiert hatten. +\end{example} + +\begin{definition} + Die Summe von zwei Hackenbush-Positionen entsteht durch deren Vereinigung. +\end{definition} + +\begin{example} + $G + 0 \equiv 0$, denn das Nullspiel hat keine legalen Züge. + In $G + 0$ wird also letztendlich auch nur in der Position von $G$ gezogen, + das Spiel läuft also gleich ab. +\end{example} + +\begin{lemma} + \label{lm:addition-respektiert-groessergleich-null} + Ist $G \geq 0$ und $H \geq 0$, dann ist auch $G + H \geq 0$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Fängt die rechte Spielerin an, + so kann die linke beide Spiele gewinnen, indem sie immer in dem Teilspiel mit einem + Zug antwortet, in dem die rechte Spielerin gerade gezogen hat. + Weil sie beide Teilspiele gewinnt, hat sie dadurch immer einen legalen Zug und gewinnt + somit letztendlich auch die Summe. + Fängt die linke Spielerin an, so gibt es nichts zu zeigen. +\end{proof} + +\begin{definition} + Wir sagen, dass zwei Hackenbush Positionen \vocab{gleich} sind, + wenn sie sich spieltechnisch gleich verhalten. + Das heißt, $G = H$ steht für $G + (-H) = 0$ + im Sinne von + \autoref{def:spiele-vorzeichen-0-fuzzy}. +\end{definition} + +\begin{example} + $ 1 + (-1) = 0$ +\end{example} + +\begin{abuse} + Wir können jetzt außerdem feststellen, + dass wir die \enquote{$0$} in $G < 0$ jetzt sowohl als die formale Null + als auch das Nullspiel verstehen können. + Denn $G + (-0) \equiv G$, und damit ist $G < 0$ (mit Nullspiel) genau als $G < 0$ + (mit formaler Null) definiert. + In Zukunft werden wir also nicht mehr zwischen den beiden unterscheiden. +\end{abuse} + +\begin{proposition} + \label{prop:hackenbush-kleinergleich-respektiert-gleichheit} + Die Relation \enquote{$=$} ist eine Äquivalenzrelation auf den \gm{Hackenbush}-Spielen, + das heißt: + \begin{enumerate}[p] + \item $G = G$ für jedes Spiel $G$ + \item Ist $G = H$, so ist auch $H = G$ + \item Ist $G = H$ und $H = I$, so auch $G = I$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + TODO +\end{proof} + +Außerdem können wir jetzt unsere Definition von $<$ ausweiten: + +\begin{definition} + Sind $G$ und $H$ zwei Hackenbush Spiele, so schreiben wir $G < H$ für $G - H < 0$, + wenn also die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie in $G - H$ hat. +\end{definition} + +An dieser Stelle sollten wir uns davon überzeugen, +dass sich $\leq $ mit Addition und Subtraktion so verhält, +wie man es erwarten würde: -\begin{game}[\gm{Hackenbush (Mischmasch)}] +\begin{proposition} + \label{prop:hackenbush-bildet-geordnete-abelsche-gruppe} + Die \gm{Hackenbush}-Spiele bilden mittels \enquote{$+$} und \enquote{$\leq $} + eine (partiell) geordnete, abelsche Gruppe. + Das heißt: + \begin{enumerate}[p] + \item \enquote{$+$} ist kommutativ und assoziativ + \item Jede Position $P$ hat eine negative Position $-P$ mit $P + (-P) = 0$. + \item Aus $G \leq H$ und $H \leq G$ folgt $G = H$. + \item Die Ordnung ist mit $\leq $ verträglich, d.h. + \[ + G_1 \leq G_2 \qquad \iff \qquad G_1 + H \leq G_2 + H + \] + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Dass die Addition kommutativ und assoziativ ist, ist bildlich sofort klar. + + Wir zeigen als nächstes, dass $P + (-P)$ ein Nullspiel ist, + als Gewinnstrategie für die zweite Spielerin kann sie einfach die Züge der ersten + Spielerin im jeweils anderen Spiel kopieren: + Zieht die erste Spielerin in $P$, so zieht die zweite in $-P$ und umgekehrt. + Damit garantiert sie, dass nach ihrem Zug immer wieder zwei zueinander negative Positionen + vorhanden sind, und sie diese Strategie fortsetzen kann. + Die zweite Spielerin verliert also nicht, und gewinnt somit, weil das Spiel endlich% + \footnotemark + ist. + + Ist $G \leq H$, so gilt $G = H$ (und wir sind fertig) oder $G < H$. + Analog sind wir fertig oder es gilt $H < G$. + $H < G$ und $G < H$ können aber nicht gleichzeitig eintreten, + denn es können natürlich nicht beide Spielerinnen eine Gewinnstrategie haben. + + Zunächst wollen wir nun zeigen, dass die Ordnung überhaupt \enquote{$=$} respektiert. + Sei hierzu $G \leq H$ und $G = G'$, Dann ist $G - H \geq 0$ und $G ' - G = 0$, + also nach \autoref{lm:addition-respektiert-groessergleich-null} $G' - H \geq 0$, + also $G' \geq H$. + + Jetzt ist $G_1 + H \leq G_2 + H$ nach Definition äquivalent zu $G_1 + H - (G_2 + H) \leq 0$, + also wegen (i) zu $G_1 - G_2 \leq 0$, was genau $G_1 \leq G_2$ entspricht. +\end{proof} +\footnotetext{Mehr dazu später, momentan wollen wir das einfach annehmen} + +\begin{remark} + Wir behaupten an dieser Stelle nur, dass die Ordnung partiell ist. + In der Tat handelt es sich hier um eine Totalordnung, aber das ist nicht trivial + und liegt am konkreten Spiel, lässt sich also nicht wie unsere allgemeinen Ergebnisse + später verallgemeinern, wie wir noch sehen werden. +\end{remark} + + +\section{\gm{Hackenbush Mischmasch}} + + +\begin{game}[\gm{Hackenbush Mischmasch}] Dieses Spiel verhält sich grundsätzlich wie Hackenbush, allerdings gibt es jetzt auch grüne Stäbe, die von beiden Spielerinnen entfernt werden dürfen. @@ -260,6 +429,8 @@ Wir werden hier (erstmal) nicht das Ziel haben, alle Positionen von Hackenbush z \begin{talk} Jetzt darüber diskutieren, dass wir \enquote{komische} Positionen erhalten werden: \begin{itemize} + \item Nim ist eine Teilmenge von Hackenbush geworden \item $\nimber 1 \fuzzy 0$ + \item up, down schon einführen? \end{itemize} \end{talk} diff --git a/inputs/games.tex b/inputs/games.tex index 5a4b0d1..3da61e6 100644 --- a/inputs/games.tex +++ b/inputs/games.tex @@ -1,5 +1,9 @@ \section{Ein abstrakter Blickpunkt auf Spiele} +Ziel dieses Kapitels soll es sein, einen formalen Standpunkt auf Spiele zu entwickeln +und unsere Beobachtungen über die bisherigen Spiele, insbesondere Hackenbush, +auf standfesten Boden zu bekommen. + \begin{definition} Ein \vocab{Spiel} $G$ besteht aus einer Menge von Positionen und einer ausgezeichneten Startposition. @@ -61,9 +65,6 @@ \frac{1}{2^n} = \set{ 0 \suchthat \frac{1}{2^{n-1}} } \end{gather*} etc. - Wir haben noch nicht definiert, wie Spiele \emph{geordnet} sind, - aber anhand der suggestiven Benennungen können wir schon vermuten, - wie die bisher bekannten Spiele sich verhalten. \end{example} \begin{remark} @@ -108,19 +109,6 @@ Weil die Notation offensichtlich Redundanz enthält, stellen wir Folgendes fest: Wir wollen nun erste Schritte unternehmen, um Spiele ganz \emph{formal} zu klassifizieren: -\begin{definition} - Sei $G$ ein Spiel. Dann sagen wir, dass - \begin{enumerate}[p] - \item $G$ \vocab{positiv} ist, wenn die linke Spielerin eine Gewinnstrategie hat. - Wir schreiben hierbei $G>0$. - \item $G$ \vocab{negativ} ist, wenn die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie hat. - Wir schreiben $G<0$. - \item $G$ \vocab{Null} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die zweite Spielerin gibt. - Wir schreiben $G=0$. - \item $G$ \vocab{fuzzy} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die erste Spielerin gibt. - Wir schreiben $G \fuzzy 0$. - \end{enumerate} -\end{definition} \begin{notation} Schreibe $G \geq 0$ für $G = 0$ oder $G > 0$, analog $G \leq 0$. @@ -131,6 +119,7 @@ Wir wollen nun erste Schritte unternehmen, um Spiele ganz \emph{formal} zu klass Relevant ist nun Folgendes: \begin{theorem} + \label{thm:vergleichbarkeit-von-spielen} Für jedes Spiel $G$ gilt genau eines von $G>0$, $G<0$, $G = 0$ und $G \fuzzy 0$. \end{theorem} @@ -138,8 +127,8 @@ Relevant ist nun Folgendes: Klarerweise können nicht zwei der vier Fälle gleichzeitig eintreten. Wir gehen induktiv vor, sei $G$ also ein Spiel, sodass wir die Aussage für alle linken und rechten Position von $G$ bereits kennen. - Sei also $G$ beliebig und nimm zunächst an, dass $G^L \geq 0$ für ein $G^L$. - Nimm zunächst an, die linke Spielerin ist am Zug. + Sei also $G$ beliebig und nimm zunächst an, + die linke Spielerin ist am Zug. Gibt es ein $G^L$ mit $G^L \geq 0$, so kann $L$ gewinnen, indem es diese Position wählt. Ist $G^L \lfuzzy 0$ für jedes $G^L$, so gewinnt $R$, indem er danach die Gewinnstrategie in der von links gewählten Position verfolgt. @@ -149,7 +138,7 @@ Relevant ist nun Folgendes: \begin{center} \begin{tabular}{c | c | c} - & $\exists G^L \geq 0$ & $\forall G^L \geq 0$ + & $\exists G^L \geq 0$ & $\forall G^L \lfuzzy 0$ \\ \hline $\exists G^R \leq 0$ & $G \fuzzy 0$ & $G < 0$ @@ -182,6 +171,71 @@ Relevant ist nun Folgendes: \end{talk} -\section{Addition von Spielen} +\section{Addition und Negative von Spielen} -\section{} +Wir wollen uns jetzt in etwas allgemeinerem Kontext nochmal ansehen, +wie wir Spiele addieren und negieren konnten, +so wie wir das bei Hackenbush getan haben. + +\begin{definition}[Addition von Spielen] + Seien $G$ und $H$ zwei Spiele. + Die (disjunkte) \vocab{Summe} von $G$ und $H$ entsteht als neues Spiel wie folgt: + Eine Position von $G + H$ ist ein Paar von Positionen aus $G$ und $H$. + Ein Zug besteht nun daraus, eine der beiden Positionen zu wählen und in ihr + einen (für die entsprechende Spielerin) legalen Zug zu machen. + In jedem Zug ändert sich also nur eine der beiden Positionen des Paars. + Verloren hat (wie immer), wer keinen Zug mehr machen kann, + wer also in \emph{beiden} Positionen des Paares keinen Zug mehr machen kann. +\end{definition} + +\begin{sanity-check} + Überzeuge dich, dass das mit unserer bisherigen Definition im Falle von Hackenbush übereinstimmt. +\end{sanity-check} + +\begin{remark} + Es kann jetzt vorkommen, + dass in $G + H$ in der Position von $G$ zweimal hintereinander die gleiche Spielerin zieht. +\end{remark} + +\begin{definition}[Negatives eines Spiels] + Ist $G$ ein Spiel, so ist das Negative von $G$, + notiert $-G$ dasjenige Spiel $G$, in dem die legalen Züge der beiden Spielerinnen + vertauscht werden. +\end{definition} + +\begin{sanity-check} + Überzeuge dich auch hier, dass das mit der bisherigen Position übereinstimmt. +\end{sanity-check} + +Wir können nun +\autoref{prop:hackenbush-kleinergleich-respektiert-gleichheit} +und +\autoref{prop:hackenbush-bildet-geordnete-abelsche-gruppe} +unmittelbar verallgemeinern. + +\begin{proposition} + \label{prop:kleinergleich-respektiert-gleichheit} + Die Relation \enquote{$=$} ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der Spiele, + das heißt: + \begin{enumerate}[p] + \item $G = G$ für jedes Spiel $G$ + \item Ist $G = H$, so ist auch $H = G$ + \item Ist $G = H$ und $H = I$, so auch $G = I$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition} + \label{prop:games-bildet-geordnete-abelsche-gruppe} + Die Klasse der Spiele bildet mittels \enquote{$+$} und \enquote{$\leq $} + eine (partiell) geordnete, abelsche Gruppe. + Das heißt: + \begin{enumerate}[p] + \item \enquote{$+$} ist kommutativ und assoziativ + \item Jede Position $P$ hat eine negative Position $-P$ mit $P + (-P) = 0$. + \item Aus $G \leq H$ und $H \leq G$ folgt $G = H$. + \item Die Ordnung ist mit $\leq $ verträglich, d.h. + \[ + G_1 \leq G_2 \qquad \iff \qquad G_1 + H \leq G_2 + H + \] + \end{enumerate} +\end{proposition} diff --git a/inputs/games_rechnen.tex b/inputs/games_rechnen.tex new file mode 100644 index 0000000..8b3344e --- /dev/null +++ b/inputs/games_rechnen.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +Ziel dieses Kapitels soll es werden, mit Spielen noch formeller umzugehen +und sie vielmehr als Zahlen zu behandeln. +Wir spielen also nicht mehr wirklich, sondern rechnen vor allem. + +Einerseits müssen wir jetzt zum dritten Mal über unsere Definitionen von Addition und Gleichheit +etc.~nachdenken und viele formale Methoden verwenden. +Allerdings werden wir letztendlich auch einige verblüffende Erkenntnisse erreichen, +wenn wir uns darauf einlassen. + +\begin{definition}[Summe von Spielen] + Seien $G$ und $H$ zwei Spiele. + Dann definiere ihre \vocab{Summe} als + \[ + G + H \coloneqq \set{ G^L + H, G + H^L \suchthat G^R + H, G + H^R } + \] + . +\end{definition} + +\begin{notation} + Wir schreiben hier als linke Position $G^L + H$. + Damit meinen wir eigentlich die Menge aller Position $G^L + H$, + wobei $G^L$ eine linke Position von $G$ ist, also + \[ + G^L + H = \set{ P + H \suchthat \text{$P$ ist linke Position von $G$} } + \] + Die linken Positionen von $G + H$ + sind also die Vereinigungen der beiden aufgelisteten Mengen. +\end{notation} + +\begin{example} + Auch diese Definition ist wieder äußerst rekursiv und bedarf einiger Beispiele. + Zunächst ist $0 + 0 = 0$, weil $G^L$ etc~gar nicht existieren, also leere Mengen auf + beiden Seiten entstehen. + Damit können wir nun induktiv $G + 0 = G$ für jedes Spiel $G$ zeigen. + Das macht auch Sinn, denn im Nullspiel kann ja keine der beiden Parteien ziehen, + $G$ und ein leeres Spiel gleichzeitig zu spielen, sollte also wieder $G$ selbst sein. +\end{example} diff --git a/inputs/sprague_grundy.tex b/inputs/sprague_grundy.tex new file mode 100644 index 0000000..ff16b48 --- /dev/null +++ b/inputs/sprague_grundy.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +Wir wollen uns in diesem Kapitel der Theorie von neutralen Spielen widmen. +Die Theorie ist im wesentlichen \enquote{komplett}: +Wir kennen bis auf Gleichheit alle neutralen Spiele und wissen, +wie diese sich unter Addition verhalten. + +Eine andere Frage ist es natürlich, zu einem gegebenen Spiel zu entscheiden, +welches (der bekannten) es denn nun ist. +Diese werden wir im Allgemeinen nicht beantworten können. + +Zunächst stellen wir fest: + +\begin{proposition} + \label{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0} + Sei $G$ ein neutrales Spiel. + Dann gilt: + \begin{enumerate}[h] + \item $G + G = 0$, also $ G = -G$. + \item $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Der erste Punkt folgt sofort aus der Neutralität von $G$. + In $-G$ sind ja die Züge vertauscht. Da sie aber gleich sind, ändert sich natürlich nichts. + $G + G = 0$ ist dann einfach eine Umformulierung dessen. + + Nimm für $2)$ an, es wäre $G < 0$. + Addition von $G$ auf beiden Seiten liefert dann wegen $1)$, dass $0 = G + G < G$, + ein Widerspruch zu $G < 0$. + Analog führt natürlich $G > 0$ zum Widerspruch. + + Also folgt mit + \autoref{thm:vergleichbarkeit-von-spielen}, + dass $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$ ist wie gewünscht. +\end{proof} + + +\section{\gm{Nim}} + +Wir haben in +\autoref{sec:nim-einfuehrung} +bereits die Gewinn- und Verluststellungen von \gm{Nim} analysiert. +Eine Gewinnstellung ist in formaler Sprache eine Stellung $G$ mit $G \fuzzy 0$, +eine Verluststellung eine mit $G = 0$. +Weitere Möglichkeiten gibt es nach \autoref{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0} nicht. + +Aber nicht jede Gewinnstellung ist gleich! +Wir wissen zum Beispiel, dass ein einzelner Münzstapel (mit einer positiven Anzahl an Münzen) +immer eine Gewinnstellung ist (indem wir den Stapel einfach wegnehmen). +Aber Stapel mit unterschiedlicher Höhe verhalten sich nicht gleich, +wenn man sie nebeneinander stellt. +Unter Spieladdition müssen wir also, um mehr zu verstehen, noch feiner unterscheiden als nur in +$G = 0$ und $ G \fuzzy 0 $. + +Definiere hierzu zunächst $\nimber n$ (sprich: \enquote{nimber}) +als dasjenige Nim-Spiel, das aus einem Münzstapel mit $n$ +Münzen besteht. +Jedes Nim-Spiel ist also also Spielsumme von einzelnen nimbers, nämlich den vorkommenden Stapeln. diff --git a/inputs/surreale_zahlen.tex b/inputs/surreale_zahlen.tex new file mode 100644 index 0000000..e69de29