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\section{Kategorien und Beispiele}
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\begin{definition}
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Eine Kategorie $\mathcat{A}$ besteht aus
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\begin{itemize}
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\item
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Einer Kollektion
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(Klasse) $\Ob(\mathcat{A})$ von \textit{Objekten} von
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$\mathcat{A}$
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\item
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Für
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jedes Paar $A,B\in \Ob(\mathcat{A})$ eine Menge
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$\mathcat{A}(A,B)$ von
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\textit{Abbildungen, Morphismen} oder auch einfach \textit{Pfeilen} von $A$
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nach $B$
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\item
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Für alle $A,B,C\in \mathcat{A}$ eine Abbildung, genannt
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\textit{Komposition von Morphismen}:
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\begin{equation*}
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\begin{array}{c c l}
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\mathcat{A}(B,C)\times \mathcat{A}(A,B) & \longrightarrow & \mathcat{A}(A,C) \\
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(f,g) & \longmapsto & f\circ g
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\end{array}
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\end{equation*}
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\item
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Für jedes $A\in \mathcat{A}$ einen
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\textit{Identitätsmorphismus}, notiert $1_{A}\in
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\mathcat{A}(A,A)$.
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\end{itemize}
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sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:
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\begin{itemize}
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\item
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\textit{Assziativität:}
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Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$, $g\in \mathcat{A}(B,C)$ und $h\in
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\mathcat{A}(C,D)$ ist
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\[
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h\circ (g\circ f) = (h\circ g) \circ f .
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\]
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\item
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\textit{Identität}
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Für $f\in \mathcat{A}(A,B)$ ist $f\circ 1_{A} = f
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= 1_{B} \circ f $.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Weil wir schreibfaul sind, werden wir oft auch einfach $A\in
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\mathcat{A}$ für
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$A\in \Ob(\mathcat{A})$ oder auch $f:A\to B$ für $f\in
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\mathcat{A}(A,B)$
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schreiben.
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\end{remark}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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\item
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Wir werden Kategorien oft als \textit{kommutative Diagramme} darstellen, einfache
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Beispiele einer Kategorie könnte also so aussehen:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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A \ar{r}{f} \ar{dr}[swap]{g \circ f} & B \ar{d}{g} & & & \bullet
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\arrow[swap]{dl}{k \circ j } \arrow[swap]{d}{j}\arrow[]{r}{f} \arrow["gf = hj "
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description]{dr}{} & \bullet \arrow[]{d}{g} \\ & C & & \bullet &
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\bullet\arrow[]{l}{k} \arrow[]{r}{h} & \bullet
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\end{tikzcd}
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||
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\end{center}
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Hierbei lassen wir die Identitätsmorphismen weg - wir wissen aber, dass es sie
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immer gibt, der Übersichtlichkeit halber sind sie also nicht nötig.
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\item
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Es gibt die Kategorien $\textbf{Grp}$ und $\textbf{Set}$
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aller Gruppen bzw.
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Mengen, wobei Morphismen durch Gruppenhomomorphismen bzw.
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durch Abbildungen gegeben sind.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{remark}
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Hier wird auch Klar, warum wir nicht fordern, dass $\Ob(\mathcat{A})$
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eine
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Menge ist, denn die 'Menge aller Mengen' existiert nicht.
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Um die Kategorie aller Mengen zu definieren, benötigen wir also die 'Klasse
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aller Mengen'.
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\end{remark}
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Wir wollen nun noch eine interessante 'Klasse' an Kategorien kennenlernen:
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\begin{example}
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Sei $\mathcat{A}$ eine Kategorie mit nur einem Objekt.
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Wir können uns $\mathcat{A}$ also vorstellen als ein Objekt und
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alle seine
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Selbstabbildungen, in etwa:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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\bullet \ar[loop left]{}{f} \ar[loop
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above]{}{\id} \ar[loop right]{}{g} \ar[loop below]{}{f \circ g}
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||
\end{tikzcd}
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||
\end{center}
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(es kann natürlich mehr als die illustrierten vier Pfeile geben).
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Die gesamte 'Information' der Kategorie ist darin enthalten, welche Morphismen
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es gibt, und wie diese verknüpft werden.
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Eigentlich ist diese Kategorie also eine Menge $\mathcat{A}(\bullet,\bullet)$
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von Morphismen, mit einer assoziativen Verknüpfung dieser.
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In der Mathematik nennt man das ganze auch \textit{Monoid}.
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Also
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\end{example}
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\begin{corollary}
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Eine Kategorie mit einem Element ist ein
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Monoid.
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\end{corollary}
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\begin{definition}
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||
Ein Morphismus $f:A\to B$ ist ein Isomorphismus, wenn es ein $g:B\to A$ gibt
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mit $f\circ g = \id_B$ und $g\circ f = \id_A$.
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\end{definition}
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Hiermit ergibt sich auch schnell:
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\begin{corollary}
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Eine Kategorie mit einem
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Element, bei der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ist eine Gruppe.
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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Man kann sich das ganze wirklich wie folgt vorstellen: Eine Gruppe ist ein
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Objekt und die Angabe aller seiner Selbst-Symmetrien.
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Wenn ich zwei Symmetrien anwende, dann ist das eine weiter Symmetrie, und jede
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Symmetrie kann man rückgängig machen.
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\\
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Es ist völlig unerheblich, ob man eine Gruppe als 'Menge von Elementen' oder
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als 'Menge von Selbstabbildungen' interpretiert, es handelt sich einfach um
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verschieden Perspektiven.
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\end{remark}
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\begin{example}
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Sei $P$ eine Partialordnung auf einer Menge $M$.
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Wir konstruieren eine zugehörige Kategorie, indem wir $\Ob(\mathcat{A})
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= M$
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setzen, und eine Abbildung von $f:A\to B$ genau dann existieren soll, wenn
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$A\leq B$ in der Partialordnung gilt.
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Insbesondere gibt es also zwischen zwei Objekten höchstens eine Abbildung.
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\\
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Die Verknüpfung von Abbildungen entspricht der Transitivität der
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Partialordnung. \\
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Umgekehrt können wir auch aus jeder Kategorie, bei der zwischen je zwei
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Objekten höchstens ein Pfeil existiert und bei der keine 2 Objekte isomorph
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sind, eine Partialordnung auf der Menge ihrer Objekte ableiten. (Oder, wenn wir
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nicht fordern, dass die Elemente paarweise nicht isomorph sind, auf der Menge
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ihrer Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie).
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Das ganze könnte dann wie folgt aussehen, wenn wir den Teilerverband von $126$
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betrachten:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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& 1\ar["1 \mid 2 " description]{dl} \arrow["1 \mid 7 " description]{d}{}
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\arrow["1 \mid 3 " description]{dr}{} \\ 2\ar[]{d} \ar[]{dr} &
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||
7\ar[]{dl}\ar[no head]{dr} & 3\ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \ar[no
|
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head]{dr} \\ 14 \ar[no head]{dr} & 6 \ar[no head]{d} \ar[no head]{dr} &
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||
21\ar[no head]{dl} \ar[no head]{dr} & 9 \ar[no head]{dl} \ar[no head]{d} \\
|
||
& 42\ar[no head]{dr} & 18\ar[no
|
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head]{d} & 63\ar[no head]{dl} \\ & & 126
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\end{tikzcd}
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||
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||
\end{center}
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||
\end{example}
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wobei wir die Kompositionspfeile weggelassen haben.
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Das ganze könnte auch so aussehen:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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& & a
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\arrow[loop above]{}{\id_a} \arrow["a \leq d" description]{dddd} \arrow["a\leq
|
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b" description]{ddll}{}\arrow["a\leq c" description]{ddrr}{} \\ \\ b
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||
\arrow[loop above]{}{\id_b} & & & & c\arrow[loop right]{}{\id_c}\arrow["c\leq
|
||
d" description]{ddll}{} \\ \\ & & d \arrow[loop below]{}{\id_d}
|
||
\end{tikzcd}
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||
\end{center}
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||
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||
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\section{Universelle Eigenschaften in Kategorien} Wir wollen nun Objekte in
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Kategorien durch ihre 'universellen Eigenschaften' charakterisieren.
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Aus der Mengenlehre kennen wir das Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$.
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Aber was macht dieses Produkt speziell, bzw.
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besonders?
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Jedes Element aus $X\times Y$ 'beschreibt ein Paar von Elementen aus $X$ und
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$Y$.
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Wie lässt sich dies mit Abbildungen ausdrücken?
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||
Elemente aus $X,Y$ können wir durch Abbildungen $f:M\to X$ und $f:M\to Y$
|
||
beschreiben, und wir erhalten eine (eindeutige) Abbildung, die nun von $M\to
|
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X\times Y$ abbildet:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
|
||
& & & X \\ M
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||
\ar[swap]{drrr}{h} \ar{urrr}{g} \ar[dotted, "\exists !
|
||
f" description]{rr} & & X\times Y \ar[swap]{ur}{\pi_X} \ar{dr}{\pi_Y} \\
|
||
& & & Y
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
Um den Zusammenhang zwischen $X\times Y$ und $X,Y$ zu beschreiben, benötigen
|
||
wir noch die jeweiligen Projektionsabbildungen auf die beiden Mengen.
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||
Wir können also folgendes definieren:
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\begin{definition}
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||
Seien $X,Y\in
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\mathcat{A}$ gegeben.
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Ein Objekt $X\times Y$ zusammen mit Abbildungen $\pi_X: X\times Y \to X$ und
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||
$\pi_Y : X\times Y \to Y$ heißt \textit{Produkt} von $X,Y$ wenn es für
|
||
jedes
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||
Objekt $M$ und Abbildungen $g:M\to X$ sowie $h:M\to Y$ eine eindeutig
|
||
bestimmte Abbildung $f:M\to X\times Y$ gibt, sodass obiges Diagramm kommutiert.
|
||
\end{definition}
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\begin{remark}
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||
Wichtig ist, dass zum Produkt nicht nur das Objekt selbst, sondern auch die
|
||
beiden Projektionsabbildungen gehören.
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||
In \textbf{Set} mag dies zwar 'unnötig' erscheinen, weil die
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||
Projektionen sehr
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||
kanonisch sind, im Allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall.
|
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\end{remark}
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||
Wichtig ist nun vor allem folgendes:
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||
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\begin{theorem}
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||
Seien $X,Y\in \mathcat{A}$
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gegeben.
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||
Existiert das Produkt $(P,\pi_X, \pi_Y)$, so ist dieses bis auf Isomorphismus
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eindeutig bestimmt, d.h.
|
||
für $(P',τ_X,τ_Y)$ ein weiters Produkt, gibt es einen Isomorphismus $f:P\to
|
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P'$, sodass auch $τ_X \circ f = π_X$ und $τ_Y \circ f = π_Y$, also
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzcd}
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||
& & X \\
|
||
P\ar{urr}{\pi_X} \ar{drr}[swap]{\pi_Y} \ar["\exists f" description]{r} & P'\ar{ur}[swap]{τ_X} \ar{dr}{τ_Y} \\
|
||
& & Y
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
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Im Vortrag mit folgendem Diagramm:
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||
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||
\begin{center}
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\begin{tikzcd}[sep=huge] & X
|
||
\\ P_1\arrow[]{ur}{\pi_X^1}\arrow[swap]{dr}{\pi_Y^1} \arrow[]{r}{f} &
|
||
P_2\arrow["\pi_X^2" description]{u}{}\arrow["\pi_Y^2"
|
||
description]{d}{}\arrow[]{r}{g} & P_1
|
||
\arrow[swap]{ul}{\pi_X^1}\arrow[]{dl}{\pi_Y^2} \\ & Y
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Mit diesem Satz wird die 'alternative'
|
||
Formulierung des Produkts zweier Objekte erst wirklich nützlich.
|
||
Wir sind in der Lage, $X\times Y$ ausschließlich kategorientheoretisch zu
|
||
charakteriesieren, ohne auf die Objekte selbst einzugehen.
|
||
Wir können also in \textit{jeder} Kategorie sagen, was ein Produkt ist,
|
||
nicht
|
||
nur in \textbf{Set}.
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||
\end{remark}
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||
\begin{example}
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||
Beispiele von Produkten in Kategorien:
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\begin{itemize}
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\item
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||
In \textbf{Set}
|
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ist das Produkt genau $X\times Y$
|
||
\item
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||
In \textbf{Grp} ist das Produkt das
|
||
Gruppenprodukt $G\times H$
|
||
\item
|
||
In $\textbf{Vect}_K$ ist das Produkt $V\oplus
|
||
W$, die direkte Summe der Vektorräume.
|
||
\item
|
||
Ist $\mathcal{P}$ eine Kategorie, die die Partialordnung $P$ auf
|
||
$M$ darstellt, so ist das Produkt von zwei Elementen $a,b$ durch ihr Infimum
|
||
gegeben (größte untere Schranke).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Ein weiteres wichtiges Konzept in der Kategorientheorie ist das der
|
||
'Opposite-Kategorie'.
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Aus jeder Kategorie können wir ihre duale Kategorie konstruieren, indem wir
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||
alle Pfeile umdrehen.
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||
Dies führt automatisch dazu, dass wir auch Koprodukte definieren können:
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\begin{definition}
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||
Das Koprodukt von $X,Y$ ist ein Objekt $X+Y$, zusammen
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||
mit Einbettungen $ι_X : X \to X+Y$ sowie $ι_Y : Y \to X+Y$, sodass es für
|
||
jede Abbildungen $g: X \to M$ und $h:Y\to M$ eine eindeutig
|
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bestimmte Abbildung $f:X+Y\to M$ gibt, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
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||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
X \ar[swap]{dr}{ι_X} \ar{drrr}{g}\\ & X+Y
|
||
\ar[dotted,"\exists !
|
||
f" description]{rr} & & M \\
|
||
Y \ar{ur}{ι_Y} \ar[swap]{urrr}{h}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
und dieses ist, falls existent, eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen
|
||
Isomorphismus.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Folgt aus dem Satz über das Produkt unter Verwendung der 'Opposite Kategorie'.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{recap}
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||
\textbf{Aufgabe:}
|
||
Finde das Koprodukt in \textbf{Set}.
|
||
\end{recap}
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||
|
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\begin{example}
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||
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
|
||
\item
|
||
Man kann die freie Gruppe (Ring, Körper, etc) über einer Menge
|
||
kategorientheoretisch sehr schön definieren.
|
||
Sei hierzu $X$ eine Menge.
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||
Eine freie Gruppe über $X$ ist eine Gruppe $G$ mit einer Einbettung $ι: X \to
|
||
G$, sodass es für jede Gruppe $H$ und jede Abbildung (nicht von Gruppen) $g:
|
||
X\to H$ einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $f : G \to H$ gibt.
|
||
Also
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||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
G \arrow[dashed, "\exists !
|
||
f \text{ Gruppenhom}" description]{rrrr} & & & & H \\
|
||
X \arrow[hook]{u}{ι} \arrow[swap]{urrrr}{g}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
Man stellt fest, dass es hierbei völlig unerheblich ist, was die Wörter
|
||
\textit{Gruppe} und Gruppenhomomorphismus eigentlich bedeuten, außer
|
||
dass es
|
||
sich um ein Objekt mit Struktur handelt, und eine Abbildung, die diese erhält.
|
||
\\
|
||
Die freie Gruppe über einer Menge $X$ kann man sich hierbei noch als 'Wörter
|
||
mit Buchstaben aus X' vorstellen (wobei es 'negative' Buchstaben gibt),
|
||
besonders wenn es sich um kompliziertere Strukturen handelt, ist es allerdings
|
||
nicht leicht, die entsprechenden freien Objekte anderweitig zu verstehen oder
|
||
explizit zu konstruieren, kategorientheoretisch passiert jedoch immer dasselbe,
|
||
und die Eindeutigkeit zeigt man auch stets gleich.
|
||
\item
|
||
Wir betrachten ein weiteres Beispiel, das sogenannte Tensorprodukt. Über zwei
|
||
Vektorräumen $V,W$ (allgemeiner: Moduln) über dem gleichen Körper (allgemeiner:
|
||
Ring), können wir das Tensorprodukt $V \otimes W$ einführen, es stellt eine
|
||
'universelle bilineare Abbildung dar', und hat die folgende universelle
|
||
Eigenschaft:
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V \otimes W \ar[dotted, "\exists !
|
||
f \text{ linear}" description]{rrr} & & & M \\
|
||
V \times W \ar{u}{ι \text{ linear}} \ar{urrr}[swap]{g \text{ bilinear}}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{center}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{example}
|
||
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Ein Objekt $A\in \Ob(\mathcat{A})$ heißt \textit{initial}, falls
|
||
es für jedes
|
||
$B\in \Ob(\mathcat{A})$ einen eindeutigen Morphismus $f: A \to B$
|
||
gibt.
|
||
\\
|
||
Ein Objekt $A$ heißt \textit{terminal}, falls es für jedes $B$ genau
|
||
einen Morphismus $f: B\to A$ gibt.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{recap}
|
||
\textbf{Aufgabe.}
|
||
Finde die initialen und terminalen Objekte in \textbf{Set},
|
||
\textbf{Grp},
|
||
\textbf{CRing} und einer partiell geordneten Menge.
|
||
\end{recap}
|