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Ziel dieses Kapitels soll es werden, mit Spielen noch formeller umzugehen
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und sie vielmehr als Zahlen zu behandeln.
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Wir spielen also nicht mehr wirklich, sondern rechnen vor allem.
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Einerseits müssen wir jetzt zum dritten Mal über unsere Definitionen von Addition und Gleichheit
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etc.~nachdenken und viele formale Methoden verwenden.
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Allerdings werden wir letztendlich auch einige verblüffende Erkenntnisse erreichen,
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wenn wir uns darauf einlassen.
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\begin{definition}[Summe von Spielen]
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Seien $G$ und $H$ zwei Spiele.
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Dann definiere ihre \vocab{Summe} als
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\[
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G + H \coloneqq \set{ G^L + H, G + H^L \suchthat G^R + H, G + H^R }
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\]
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.
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Wir schreiben hier als linke Position $G^L + H$.
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Damit meinen wir eigentlich die Menge aller Position $G^L + H$,
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wobei $G^L$ eine linke Position von $G$ ist, also
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\[
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G^L + H = \set{ P + H \suchthat \text{$P$ ist linke Position von $G$} }
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\]
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Die linken Positionen von $G + H$
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sind also die Vereinigungen der beiden aufgelisteten Mengen.
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\end{notation}
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\begin{example}
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Auch diese Definition ist wieder äußerst rekursiv und bedarf einiger Beispiele.
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Zunächst ist $0 + 0 = 0$, weil $G^L$ etc~gar nicht existieren, also leere Mengen auf
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beiden Seiten entstehen.
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Damit können wir nun induktiv $G + 0 = G$ für jedes Spiel $G$ zeigen.
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Das macht auch Sinn, denn im Nullspiel kann ja keine der beiden Parteien ziehen,
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$G$ und ein leeres Spiel gleichzeitig zu spielen, sollte also wieder $G$ selbst sein.
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\end{example}
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