Ziel dieses Kapitels soll es werden, mit Spielen noch formeller umzugehen
und sie vielmehr als Zahlen zu behandeln.
Wir spielen also nicht mehr wirklich, sondern rechnen vor allem.

Einerseits müssen wir jetzt zum dritten Mal über unsere Definitionen von Addition und Gleichheit
etc.~nachdenken und viele formale Methoden verwenden.
Allerdings werden wir letztendlich auch einige verblüffende Erkenntnisse erreichen,
wenn wir uns darauf einlassen.

\begin{definition}[Summe von Spielen]  
  Seien $G$ und $H$ zwei Spiele.
  Dann definiere ihre \vocab{Summe} als
  \[
    G + H \coloneqq \set{ G^L + H, G + H^L \suchthat G^R + H, G + H^R } 
  \] 
  .
\end{definition}

\begin{notation}
  Wir schreiben hier als linke Position $G^L + H$.
  Damit meinen wir eigentlich die Menge aller Position $G^L + H$,
  wobei $G^L$ eine linke Position von $G$ ist, also
  \[
    G^L + H = \set{ P + H \suchthat \text{$P$ ist linke Position von $G$} } 
  \]
  Die linken Positionen von $G + H$
  sind also die Vereinigungen der beiden aufgelisteten Mengen.
\end{notation}

\begin{example}
  Auch diese Definition ist wieder äußerst rekursiv und bedarf einiger Beispiele.
  Zunächst ist $0 + 0 = 0$, weil $G^L$ etc~gar nicht existieren, also leere Mengen auf
  beiden Seiten entstehen.
  Damit können wir nun induktiv $G + 0 = G$ für jedes Spiel $G$ zeigen.
  Das macht auch Sinn, denn im Nullspiel kann ja keine der beiden Parteien ziehen,
  $G$ und ein leeres Spiel gleichzeitig zu spielen, sollte also wieder $G$ selbst sein.
\end{example}
