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Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen.
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Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit
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Struktur, z.B.
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Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach
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Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie
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\textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten,
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d.h.
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ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den
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einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
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Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine
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Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen)
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zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben.
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Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern
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vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so
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besonders?
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} oder auch
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\textit{Welche (tollen)
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Eigenschaften hat dieses Objekt}.
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Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten.
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\\
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Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann
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sind zwei Objekte identisch, wann gleich?
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Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen
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oder ganze Kategorien beantworten.
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Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B.
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die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge
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ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht
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\textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie
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\textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter
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Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
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Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte
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wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch
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formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.
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