115 lines
4.4 KiB
TeX
115 lines
4.4 KiB
TeX
Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die
|
|
Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien.
|
|
Ein Funktor $F: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ besteht aus
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Einer Funktion $F: \Ob(\mathcat{A}) \to \Ob(\mathcat{B})$
|
|
\item
|
|
Für jedes
|
|
$A,B\in \mathcat{A}$ eine Abbildung $F: \mathcat{A}(A,B) \to
|
|
\mathcat{B}(F(A),F(B))$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
sodass gilt:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Für
|
|
$A\in \mathcat{A}$ ist $F(1_A) = 1_{F(A)}$, d.h.
|
|
Identitäten werden auf Identitäten abgebildet.
|
|
\item
|
|
$F$ respektiert Komposition, d.h. $F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
|
|
\item
|
|
Die einfachsten Beispiele von Funktoren sind 'vergessliche' Funktoren.
|
|
Z.B.
|
|
können wir einen Funktor $F: \textbf{Grp} \to \textbf{Set}$
|
|
definieren, indem wir eine Gruppe auf ihre zugehörige Menge schicken, und einen
|
|
Gruppenhomomorphismus auf die zugehörige Abbildung von Mengen.
|
|
Wir 'vergessen' also, dass es sich bei unseren Objekten um Gruppen handelt, und
|
|
dass die Abbildungen diese Gruppenstrukturen erhalten.
|
|
\\
|
|
Analog finden wir z.
|
|
B.
|
|
Funktoren $\textbf{CRing} \to \textbf{Grp}$ oder
|
|
$\textbf{Vect}_K \to
|
|
\textbf{Set}$ \\
|
|
\item
|
|
Sei $G$ eine Gruppe, bzw.
|
|
$\mathcat{G}$ die zugehörige Kategorie.
|
|
Was ist ein Funktor $F : \mathcat{G} \to \textbf{Set}$ ?
|
|
(Eine Gruppenwirkung).
|
|
\item
|
|
Seien $G,H$ Gruppen, dargestellt als Kategorien.
|
|
Dann ist ein Funktior $\mathcat{G}\to \mathcat{H}$
|
|
nichts anderes als ein
|
|
Gruppenhomomorphismus $F: G\to H$
|
|
\item
|
|
Funktoren $F: \mathcat{P}\to
|
|
\mathcat{Q}$ von partiell geordneten Mengen (bzw.
|
|
deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:
|
|
|
|
\begin{theorem}
|
|
Funktoren bilden isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte ab.
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h.
|
|
sind $G : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ und $F:
|
|
\mathcat{B}\to \mathcat{C}$ Funktoren, so gibt es einen
|
|
Funktior $F \circ G : \mathcat{A} \to \mathcat{C}$, der
|
|
wie folgt definiert ist:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Für $A \in \Ob(\mathcat{A})$ ist $F\circ G(A) = F(G(A)) \in
|
|
\Ob(\mathcat{C})$
|
|
\item
|
|
Für $f: A \to B$ ist $F\circ G ( f) = F (G( f)) \in \Hom(F\circ G(A), F\circ
|
|
G(B))$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Leichtes Überprüfen der Funktoreigenschaften.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{remark}
|
|
Damit sind vergessliche Funktoren alles andere als 'trivial' oder 'nutzlos'.
|
|
Z.b.
|
|
erhalten wir, dass isomorphe Gruppen insbesondere als Menge isomorph sind. \\
|
|
In der Theorie von endlichen Körpern ist ein entscheidender Schritt im Beweis,
|
|
dass jeder Körper Mächtigkeit $p^r$ für $p$ prim hat, dass $K$ ein Vektorraum,
|
|
hier nutzen wir also einen Funktor von der Kategorie der Körper mit gleichem
|
|
Primkörper in die Kategorie der Vektorräume über diesen Körper.
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Es gibt auch 'freie' Funktoren, die Struktur 'frei' hinzufügen, also z.B.
|
|
$F : \textbf{Set} \to \textbf{Grp}$, wobei wir einer Menge
|
|
die freie Gruppe über ihren Elementen zuordnen (was mit Abbildungen geschieht,
|
|
ist sehr naheliegend). \\
|
|
Die Abbildung $F: \textbf{Set} \to \textbf{Grp}$, die
|
|
jeder Menge ihre freie Gruppe zuordnet, und für jede Abbildung $f: X \to Y$ in
|
|
\textbf{Set} die über die universelle Eigenschaft von $G$ eindeutig
|
|
bestimmte Abbildung zu $F \circ f : X \to F(Y)$ zuordnet, ist ein 'freier'
|
|
Funktor:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzcd}
|
|
X \ar{rr}{F} \ar{d}{f} \ar{drr}{F \circ f} & & F(X) \ar[dotted]{d}{F(f)}\\
|
|
Y \ar[swap]{rr}{F} & & F(Y)
|
|
\end{tikzcd}
|
|
\end{center}
|
|
\end{example}
|
|
|