2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{definition}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien, und $F:
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\mathcat{A}\to
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\mathcat{B}$ sowie $G:\mathcat{A}\to
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\mathcat{B}$ zwei Funktoren zwischen
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diesen.
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Eine \textit{natürliche Transoformation} $α: F \to G$ ist eine Familie $α_A :
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F(A) \to G(A) $ für jedes $A\in \mathcat{A}$, genannt
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\textit{Komponente} von
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$α$ (an $A$), sodass für jede Abbildung $f:A\to A'$ das folgende Diagramm
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kommutiert:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A} &
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F(A') \ar{d}{α_{A'}} \\ G(A) \ar[swap]{r}{G(f)} & G(A')
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Wir wollen also, dass wir auf \textbf{eindeutige Weise} wissen,
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wie wir von $F(A)$ zu $G(A')$ gelangen (wenn wir wissen, wie wir von $A$ zu
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$A'$ gelangen).
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{definition}
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\begin{remark}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie
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$\mathcat{B}$
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sind.
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\\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\mathcat{A} \ar[bend left = 50, ""{name=U,below}] {r}{F} \ar[bend right = 50, swap, ""{name = D}]{r}{G}& \mathcat{B}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\arrow[from = U, to =D, Rightarrow,yshift=1.5]{}{α}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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und meinen, dass $α$ eine natürliche Trasformation der Funktioren $F,G:
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\mathcat{A}\to \mathcat{B}$ ist.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{remark}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\item
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Wir wollen sehen, dass die 'Determinante' als natürliche Transformation
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aufgefasst werden kann.
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Zunächst konstruieren wir zwei Funktoren $\textbf{CRing} \to
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\textbf{Monoid}$.
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\\
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Für jeden Ring bilden die $n\times n$-Matrizen über diesem Ring einen Monoiden
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unter der Multiplikation.
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Ist zudem $F:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so können wir diesen zu einem
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Morphismus $M_n(R) \to M_n(S)$ erweitern, indem wir elementweise abbilden.
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Die Funktoreigenschaften überprüft man leicht, wir erhalten also einen Funktor
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$M_n: \textbf{CRing} \to \textbf{Mon}$.
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\\
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Zudem betrachten wir den vergesslichen Funktor $U: \textbf{CRing} \to
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\textbf{Mon}$, der einfach die Additive Struktur vergisst und somit
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aus einem Ring seinen multiplikativen Monoid zurückgibt.
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Dies definiert also $U: \textbf{CRing} \to \textbf{Set}$.
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\\
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Um nun eine nätürliche Transformation $α:M_n \to F$ anzugeben, müssen wir für
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jeden Ring $R$ ein $α_R: M_n(R) \to U(R)$ angeben, wir wählen die
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Determinantenabbildung, die einer Matrix ihre Determinante zuordnet.
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Dies ist eine Abbildung in \textbf{Mon}, da die Determinante
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multiplikativ ist.
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\\
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Dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, bedeutet genau, dass
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folgendes kommutiert:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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M_n(R) \ar[swap]{d}{\det} \ar{r}{M_n(f)} & M_n(S) \ar{d}{\det} \\ U(R)
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\ar[swap]{r}{U(f)} & U(S)
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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und wiederspiegelt, dass
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die Abbildung $\det $ für jeden Ring gleich definiert ist, formal steckt
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folgende Identität dahinter:
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\[
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f\left(\sum_{σ\in \mathfrak{S}_n} \sgn σ \cdot
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\prod_{i=1}^{n} x_{i,ο(i)} \right) = \sum_{σ\in \mathfrak{S}_n} \sgn \sigma
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\cdot \prod_{i=1}^{n} f(x_{i,ο(i)}) .
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\]
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was daraus folgt, dass $f$ Ringhomomorphismus ist. \\
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Man spricht also davon, dass die Transformation 'natürlich ist', weil sie
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'gleich' für alle Objekte definiert ist, und man nicht nur jedes $F(A)$
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'irgendwie' in ein $G(A)$ überführt.
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\item
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Wir wissen bereits, dass für eine Gruppe $G$ und ihre zugehörende Kategorie
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$\mathcat{G}$ ein Funktor $S: \mathcat{G}\to
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\textbf{Set}$ eine Gruppenwirkung ist.
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Sei $T:\mathcat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher
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Funktor.
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Was ist eine natürliche Transformation
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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\mathcat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right =
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50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set} \arrow[from = U, to = D,
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Rightarrow, yshift = 1.5]{}{α}
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Es handelt sich um
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eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to T(\star)$, sodass für jede Abbildung
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$g\in \mathcat{G}$ gilt:
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\[
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α \circ S(g) = T(g) \circ α .
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\]
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(als Abbildung $S(\star) \to T(\star)$), man spricht von einer
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$G$-äquivarianten Abbildung, d.h. sie preserviert die Gruppenwirkung.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{enumerate}
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|
\end{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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\begin{lemma}
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Man kann natürlich Transformationen verknüpfen, d.h.
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sind $F,G,H : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ Funktoren und
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ist $α:F\to G$ sowie $β:G\to H$ eine natürliche Transformation, so gibt es eine
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Transformation $β\circ α: F \to H$, die wir durch
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\[
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(β\circ α)_{A} = β_A \circ α_A
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.
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\]
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definieren.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Wir überprüfen, dass die Naturalität gegeben ist, hierzu zeichnen wir für
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$f:A\to A'$ das Diagramm
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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F(A) \ar{r}{F(f)}
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\ar[swap]{d}{α_A}\ar[bend right = 70,swap]{dd}{(β\circ α)_A} &
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F(A')\ar{d}{α_{A'}} \ar[ bend left = 70]{dd}{(β\circ α)_{A'}}\\ G(A)
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\ar{r}{G(f)} \ar[swap]{d}{β_A} & G(A') \ar{d}{β_{A'}} \\ H(A) \ar{r}{H(f)} &
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H(A')
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Da die obere und untere Hälfte jeweils
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kommutieren, kommutiert auch das gesamte Diagramm und es ist $β\circ α$ eine
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natürliche Transformation.
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\end{proof}
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\begin{definition}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
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Für zwei Kategorien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ können wir
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die
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\textit{Funktor-Kategorie} $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$ definieren, die
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Objekte
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bestehen aus den Funktoren $F:\mathcat{A}\to
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\mathcat{B}$, die Morphismen
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zwischen Objekten $F,G$ sind natürliche Transformationen $α: F \to G$zwischen
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ihnen.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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|
\end{definition}
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|
\begin{example}
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2022-02-17 13:29:03 +01:00
|
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|
Sei $\mathcat{G}$ eine Gruppe.
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Die Funktorkategorie $[\mathcat{G}, \textbf{Set}]$ ist die Kategorie
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aller
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linken $G$-Mengen, zusammen mit den G-equivarianten Abbildungen zwischen diesen
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Mengen.
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2022-02-17 13:15:54 +01:00
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\end{example}
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