Mathecamp/Heiratssatz
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Maximilian Keßler 2022-02-17 12:57:21 +01:00
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inputs/heiratssatz.tex
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@ -11,9 +11,9 @@ Nach einer Weil könnte man auch auf folgendes kommen:
\item Für Jede Teilmenge $N\subset M$ von (manchen) Männern, muss es mindestens $\abs{N} $ viele Frauen geben, die von einem dieser Männer gemocht wird. Nehmen wir nämlich an, dass wir die Männer verheiraten können, so sind dies (mindestens) die $\abs{N} $ vielen Partnerinnen der Männer. \item Für Jede Teilmenge $N\subset M$ von (manchen) Männern, muss es mindestens $\abs{N} $ viele Frauen geben, die von einem dieser Männer gemocht wird. Nehmen wir nämlich an, dass wir die Männer verheiraten können, so sind dies (mindestens) die $\abs{N} $ vielen Partnerinnen der Männer.
\end{itemize} \end{itemize}
Diese Bedingung nennt man auch Halls Heiratsbedingung, benannt nach Paul Hall, der diesen Sachverhalt das erste Mal untersuchte. Das überraschende ist nun, dass diese Bedingung bereits ausreicht: Diese Bedingung nennt man auch Halls Heiratsbedingung, benannt nach Paul Hall, der diesen Sachverhalt das erste Mal untersuchte. Das überraschende ist nun, dass diese Bedingung bereits ausreicht:
\begin{thm}[Hall, 1935] \begin{theorem}[Hall, 1935]
Gegeben sei ein bipartiter Graph mit den Knotenmengen $M$ und $F$. Dann gibt es ein vollständiges Matching von den Männern (in die Frauen) genau dann, wenn für jede Teilmenge $M'\subset M$ gilt, dass $\abs{M'} \leq \abs{N(M')} $. Gegeben sei ein bipartiter Graph mit den Knotenmengen $M$ und $F$. Dann gibt es ein vollständiges Matching von den Männern (in die Frauen) genau dann, wenn für jede Teilmenge $M'\subset M$ gilt, dass $\abs{M'} \leq \abs{N(M')} $.
\end{thm} \end{theorem}
\begin{remark} \begin{remark}
Wir bezeichnen hierbei mit $N(M')$ die Nachbarschaft der Knotenmenge $M'$, also alle Knoten, die von $M'$ mit genau einer Kante erreichbar sind (in unserem fall genau die Frauen). Wir bezeichnen hierbei mit $N(M')$ die Nachbarschaft der Knotenmenge $M'$, also alle Knoten, die von $M'$ mit genau einer Kante erreichbar sind (in unserem fall genau die Frauen).
\end{remark} \end{remark}