diff --git a/inputs/heiratssatz.tex b/inputs/heiratssatz.tex index 15d4202..7f872c3 100644 --- a/inputs/heiratssatz.tex +++ b/inputs/heiratssatz.tex @@ -11,9 +11,9 @@ Nach einer Weil könnte man auch auf folgendes kommen: \item Für Jede Teilmenge $N\subset M$ von (manchen) Männern, muss es mindestens $\abs{N} $ viele Frauen geben, die von einem dieser Männer gemocht wird. Nehmen wir nämlich an, dass wir die Männer verheiraten können, so sind dies (mindestens) die $\abs{N} $ vielen Partnerinnen der Männer. \end{itemize} Diese Bedingung nennt man auch Halls Heiratsbedingung, benannt nach Paul Hall, der diesen Sachverhalt das erste Mal untersuchte. Das überraschende ist nun, dass diese Bedingung bereits ausreicht: -\begin{thm}[Hall, 1935] +\begin{theorem}[Hall, 1935] Gegeben sei ein bipartiter Graph mit den Knotenmengen $M$ und $F$. Dann gibt es ein vollständiges Matching von den Männern (in die Frauen) genau dann, wenn für jede Teilmenge $M'\subset M$ gilt, dass $\abs{M'} \leq \abs{N(M')} $. -\end{thm} +\end{theorem} \begin{remark} Wir bezeichnen hierbei mit $N(M')$ die Nachbarschaft der Knotenmenge $M'$, also alle Knoten, die von $M'$ mit genau einer Kante erreichbar sind (in unserem fall genau die Frauen). \end{remark}