ein paar remarks

2024_CdE_Goedel.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \documentclass[ngerman]{scrartcl}
 
 \usepackage{babel}
+\usepackage{xcolor}
 
 \usepackage{mkessler-math}
 \usepackage{mkessler-vocab}
@@ -20,6 +21,7 @@
 \DeclareSimpleMathOperator{bew}
 \DeclareSimpleMathOperator{beweisbar}
 \DeclareSimpleMathOperator{Subst}
+\DeclareSimpleMathOperator{Con}
 \DeclareMathOperator\xor{\stackrel{.}{\vee}}
 
 \begin{document}
@@ -502,7 +504,7 @@ dass $\varphi $ die Eigenschaft $\psi $ besitzt.
 
   Angenommen, $G$ ist wahr, dann gibt es ein $n$, sodass $\Subst(g,g,n) \land \psi (n)$ gilt.
   Nach der Definition von $\Subst$ ist dann $n$ die Gödelnummer von $G$
-  (denn $G$ ist gerade dadurch enstanden, in die Formel mit Nummer $g$ die Zahl $g$ für alle freien Variablen einzusetzen). Es gilt also $\psi (n) = \psi (\left\lceil G \right\rceil )$. Das zeigt $G \to \psi (\left\lceil G \right\rceil )$.
+  (denn $G$ ist gerade dadurch entstanden, in die Formel mit Nummer $g$ die Zahl $g$ für alle freien Variablen einzusetzen). Es gilt also $\psi (n) = \psi (\left\lceil G \right\rceil )$. Das zeigt $G \to \psi (\left\lceil G \right\rceil )$.
   
   Angenommen, $\psi (\left\lceil G \right\rceil )$ ist wahr:
   Dann gibt es ein $n$, nämlich $\left\lceil G \right\rceil $,
@@ -512,8 +514,58 @@ dass $\varphi $ die Eigenschaft $\psi $ besitzt.
   wie gewünscht.
 \end{proof}
 
+Jetzt können wir das Diagonallemma auf die Aussage
+\[
+  \psi (\left\lceil \varphi  \right\rceil) \coloneqq \lnot \exists a \bew(a, \left\lceil \varphi  \right\rceil ) = \lnot \beweisbar(\left\lceil \varphi  \right\rceil )
+\]
+anwenden und erhalten die gewünschte Formel $\varphi $, sodass
+\[
+  \text{PA} \shows \varphi \leftrightarrow \lnot \beweisbar(\left\lceil \varphi  \right\rceil )
+\]
+gilt.
+Das beweist den Unvollständigkeitssatz.
 
+\begin{remark}
+  In unserer aktuellen Formulierung müssen wir als Prämisse für den Unvollständigkeitssatz
+  noch verwenden, dass das System keine falschen Aussagen beweist.
+  Unser Ziel ist es, dies darauf zu reduzieren, dass das System \enquote{nur}
+  widerspruchsfrei ist.
 
+  Wähle nun die Aussage
+  \[
+    \psi (\left\lceil \varphi  \right\rceil ) \coloneqq 
+    \forall a \left[\bew(a, \left\lceil \varphi  \right\rceil ) \to 
+    \exists b (b < a \land \bew(b, \left\lceil \lnot \varphi  \right\rceil ))\right]
+  \]
+  und wende wieder das Diagonallemma an.
+
+  Falls $\text{PA} \shows \varphi $, existiert ein $a$ mit $\bew(a, \left\lceil \varphi  \right\rceil )$, dann aber auch ein $b$ mit $\bew(b, \left\lceil \lnot \varphi  \right\rceil )$ und somit $\text{PA} \shows \lnot \varphi $, ein Widerspruch.
+
+  Angenommen, $\text{PA} \shows \lnot \varphi $,
+  also
+  \[
+    \text{PA} \shows \lnot \forall a \left[ \bew(a, \left\lceil \varphi  \right\rceil ) \to \exists b (b <a \land \bew(b, \left\lceil \lnot \varphi  \right\rceil ))\right]
+    .
+  \]
+  Also gibt es ein $a$ mit $\bew(a, \left\lceil \varphi  \right\rceil )$ und somit
+  $\text{PA} \shows \varphi $, ein Widerspruch.
+
+  Es folgt also:
+
+  {\color{green!70!black} Kein Axiomensystem, das PA erweitert und widerspruchsfrei ist, ist vollständig }
+
+  Jetzt stellen wir aber auch fest, dass
+  \[
+    \text{PA} \shows \Con(\text{PA}) \to \varphi 
+    ,
+  \]
+  wobei $\Con(\text{PA})$ dafür steht, dass $\text{PA}$ konsistent ist.
+  Also
+  \[
+    \lnot (    \text{PA} \shows \Con(\text{PA}))
+    .
+  \]
+\end{remark}
 
 %\[
 %  \begin{tikzpicture}