Vollständigkeit

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Maximilian Keßler 2024-01-03 16:52:03 +01:00
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\end{gather*} \end{gather*}
\end{example} \end{example}
\begin{notation}
Für eine Sprache $\mathcal{S}$ und ein Axiomensystem $\mathcal{A}$ schreiben wir
$A \shows \varphi $, falls sich aus $A$ und $\lnot \varphi $ eine geschlossenes
Tableau herleiten lässt.
\end{notation}
\begin{definition}[Korrektheit]
Wir sagen, dass eine Kombination aus Sprache und Schlussregeln \vocab{korrekt}
ist, wenn alle Formeln, die sich herleiten lassen (die also syntaktisch folgerbar sind),
auch sematisch folgebar sind.
Kompakter geschrieben sprechen wir von Korrektheit, wenn aus $\mathcal{A} \shows \varphi $ auch stets $\mathcal{A} \models \varphi $ folgt.
\end{definition}
\begin{remark}
Das zu beweisen ist letztendlich nicht schwer. Man muss sich \enquote{nur} davon überzeugen, dass jede einzelne der syntaktischen Schlussregeln so gestaltet ist,
dass sich auch in $S$-Strukturen die entsprechenden Schritte durchführen lassen.
\end{remark}
\begin{definition}[Vollständigkeit]
Ähnlich sprechen wir von \vocab{Vollständigkeit}, wenn jede Formel,
die sich semantisch herleiten lässt, auch syntaktisch herleiten lässt,
d.h.~ wenn aus $A \models \varphi $ auch schon $A \shows \varphi $ folgt.
\end{definition}
\begin{theorem}[Gödel'scher Vollständigkeitssatz]
Das Tableau-Kalkül ist korrekt und vollständig für jede Sprache $\mathcal{S}$.
\end{theorem}
\begin{remark}
Vollständigkeit zu beweisen ist weitaus schwieriger: Wir müssen über \emph{alle} $\mathcal{S}$-Strukturen etwas aussagen, haben aber nur eine fixe Menge an syntaktischen Regeln zur Verfügung.
\end{remark}
\begin{corollary}
Ist jede \emph{endliche} Teilmenge eines Axiomensystems konsistent,
so ist auch das Axiomensystem selbst konsistent.
\end{corollary}
\begin{proof}
Sei $\mathcal{A}$ dieses System und nimm an, dass man $\mathcal{A}$ nicht interpretieren kann, ich also keine $\mathcal{S}$-Struktur finde, in der $\mathcal{A}$ gilt.
Dann gilt insbesondere $\mathcal{A} \models \bot$, wobei $\bot$ irgendeine falsche Aussage sei, denn in jeder $\mathcal{S}$-Struktur, in der $\mathcal{A}$ gilt (es gibt keine solchen), gilt ja auch $\bot$.
Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es dann auch schon eine Herleitung $\mathcal{A} \shows \bot$.
Eine Herleitung besteht allerdings aus endlich vielen Schritten,
also gibt es auch schon eine endliche Teilmenge $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$,
sodass $\mathcal{B} \shows \bot$.
Nach Korrektheit ist dann auch $\mathcal{B} \models \bot$,
also ist $\mathcal{B}$ inkonsistent, ein Widerspruch zu unserer Annahme.
\end{proof}
\end{document} \end{document}