Vollständigkeit
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\end{gather*}
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\end{gather*}
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\end{example}
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\end{example}
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\begin{notation}
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Für eine Sprache $\mathcal{S}$ und ein Axiomensystem $\mathcal{A}$ schreiben wir
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$A \shows \varphi $, falls sich aus $A$ und $\lnot \varphi $ eine geschlossenes
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Tableau herleiten lässt.
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\end{notation}
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\begin{definition}[Korrektheit]
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Wir sagen, dass eine Kombination aus Sprache und Schlussregeln \vocab{korrekt}
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ist, wenn alle Formeln, die sich herleiten lassen (die also syntaktisch folgerbar sind),
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auch sematisch folgebar sind.
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Kompakter geschrieben sprechen wir von Korrektheit, wenn aus $\mathcal{A} \shows \varphi $ auch stets $\mathcal{A} \models \varphi $ folgt.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Das zu beweisen ist letztendlich nicht schwer. Man muss sich \enquote{nur} davon überzeugen, dass jede einzelne der syntaktischen Schlussregeln so gestaltet ist,
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dass sich auch in $S$-Strukturen die entsprechenden Schritte durchführen lassen.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Vollständigkeit]
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Ähnlich sprechen wir von \vocab{Vollständigkeit}, wenn jede Formel,
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die sich semantisch herleiten lässt, auch syntaktisch herleiten lässt,
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d.h.~ wenn aus $A \models \varphi $ auch schon $A \shows \varphi $ folgt.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[Gödel'scher Vollständigkeitssatz]
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Das Tableau-Kalkül ist korrekt und vollständig für jede Sprache $\mathcal{S}$.
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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Vollständigkeit zu beweisen ist weitaus schwieriger: Wir müssen über \emph{alle} $\mathcal{S}$-Strukturen etwas aussagen, haben aber nur eine fixe Menge an syntaktischen Regeln zur Verfügung.
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\end{remark}
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\begin{corollary}
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Ist jede \emph{endliche} Teilmenge eines Axiomensystems konsistent,
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so ist auch das Axiomensystem selbst konsistent.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Sei $\mathcal{A}$ dieses System und nimm an, dass man $\mathcal{A}$ nicht interpretieren kann, ich also keine $\mathcal{S}$-Struktur finde, in der $\mathcal{A}$ gilt.
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Dann gilt insbesondere $\mathcal{A} \models \bot$, wobei $\bot$ irgendeine falsche Aussage sei, denn in jeder $\mathcal{S}$-Struktur, in der $\mathcal{A}$ gilt (es gibt keine solchen), gilt ja auch $\bot$.
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Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es dann auch schon eine Herleitung $\mathcal{A} \shows \bot$.
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Eine Herleitung besteht allerdings aus endlich vielen Schritten,
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also gibt es auch schon eine endliche Teilmenge $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$,
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sodass $\mathcal{B} \shows \bot$.
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Nach Korrektheit ist dann auch $\mathcal{B} \models \bot$,
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also ist $\mathcal{B}$ inkonsistent, ein Widerspruch zu unserer Annahme.
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\end{proof}
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\end{document}
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\end{document}
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