vollständigkeit, turingmaschinen

2024_CdE_Goedel.tex

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 \author{Merlin Carl\thanks{Mitschrift von Maximilian Keßler}}
 
 \def\shows{\leftadjoint}
+\DeclareSimpleMathOperator{prim}
 
 \begin{document}
   \maketitle
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   also ist $\mathcal{B}$ inkonsistent, ein Widerspruch zu unserer Annahme.
 \end{proof}
 
+\section{Der Unvollständigkeitssatz}
+
+Wir wollen nun verstehen, wie man einfache Arithmetik
+(d.h.~Rechnen mit natürlichen Zahlen) in Prädikatenlogik formulieren kann.
+
+\begin{definition}
+  Sei $\mathcal{L}_A$ die Sprache mit Relationszeichen $=$, $<$, Funktionszeichen $+$, $\cdot $, sowie Konstantenzeichen $0$, $1$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  Wir können zum Beispiel folgende Übersetzungen treffen:
+  \begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
+    \text{$a$ ist ein Teiler von $b$}
+    &\leftrightarrow&
+    \exists x : a \cdot x = b
+    \\
+    \text{$p$ ist keine Primzahl}
+    & \leftrightarrow &
+    \exists a\exists b\colon (a \neq 1 \land b \neq 1 \land a \cdot b = p)
+    \\
+    \text{$p$ ist eine Primzahl}
+    & \leftrightarrow &
+    \lnot (\exists a\exists b\colon a \neq 1 \land b \neq 1 \land a \cdot b = p)
+    \\
+    & \leftrightarrow &
+    \forall a \forall b\colon a \cdot b = p \to (a = 1 \lor b = 1)
+    \\
+    \text{Die Zahl \enquote{Zwei}}
+    & \leftrightarrow &
+    1 + 1
+  \end{IEEEeqnarray*}
+  Um uns Notation zu vereinfachen, führen wir $a \mid b$ sowie $\prim(p)$ mit den obigen Bedeutungen ein, ebenfalls können wir jede \emph{feste} natürliche Zahle als $1 + 1 + \dots b + 1$ kodieren.
+  Damit meinen wir nicht, dass wir die Sprache tatsächlich erweitern (um solche Relationssymbole), sondern einfach, dass man jede Vorkommnis von diesen Relationen rein formal durch ihre obige Langschreibweise ersetzen kann.
+
+  Jetzt lässt sich die (starke) Goldbach'sche Vermutung formulieren als
+  \[
+    \forall z ((z > 2 \land 2 \mid z) \to \exists a, b (z = a + b \land \prim(a) \land \prim(b)))
+    .
+  \]
+  Etwas schwieriger wird es, zu übersetzen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:
+  \[
+    \forall x \exists p (x < p \land \prim(p))
+    .
+  \]
+  Eigentlich steht hier eher etwas wie \enquote{Es gibt beliebig große Primzahlen},
+  allerdings ist das (in den natürlichen Zahlen) das gleiche Konzept.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+  Ein \vocab{Axiomensystem} ist eine Menge von Sätzen (Formeln).
+\end{definition}
+
+\begin{question}
+  Was sind wünschenswerte Eigenschaften eines Axiomensystems?
+\end{question}
+
+\begin{itemize}
+  \item \vocab{Widerspruchsfreiheit}, d.h.~es gibt keine Aussage $\varphi $, für die sowohl $\varphi $ als auch $\lnot \varphi $ bewiesen werden können
+  \item \vocab{Vollständigkeit}, d.h.~für jeden Satz $\varphi $ der Sprache gilt $A \shows \varphi $ oder $A \shows \lnot \varphi $.
+\end{itemize}
+
+\begin{remark}
+  Dieser Begriff der \emph{Vollständigkeit} ist ein anderer, wie wir ihn bereits gesehen haben.
+
+  Ein Kalkül kann vollständig sein, wenn $A \models \varphi \iff  A \shows \varphi $,
+  Herleitungen also vollständig die semantische wahren Aussagen widerspiegeln.
+
+  Ein Axiomensystem kann vollständig sein, indem $A \shows \varphi \lor A \shows \lnot \varphi $ für jede Formel $\varphi $.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+  Beide Eigenschaften für sich sind natürlich einzeln leicht realisierbar:
+  Das leere Axiomensystem ist natürliche widerspruchsfrei, denn man kann gar nichts ableiten, und widersprüchliche Axiomensysteme sind vollständig, weil man jede Aussage zeigen kann.
+
+  Es gibt auch widerspruchsfreie und vollständige Systeme,
+  allerdings können diese nicht über Arithmetik reden.
+  Das wird Inhalt von Gödels Unvollständigkeitssatz sein.
+\end{remark}
+
+
+\subsection{Turing-Maschinen}
+Turing-Maschinen sind ein theoretisches Computermodell,
+das von \textsc{Alan Turing} eingeführt wurde.
+
+\begin{definition}
+  Eine \vocab{Turingmaschine} besteht aus einem (nach rechts hin)
+  unendlichen Speicherband, auf dem an jeder Position $0$ oder $1$ steht,
+  einem Schreib-/Lesekopf, der sich stets an einer Position findet.
+
+  Das Programm einer Turingmaschine besteht aus einer Liste an Zuständen,
+  wobei jeder Zustand in Abhängigkeit vom Wert des Bands am Lesekopf angibt:
+  \begin{itemize}
+    \item welchen Wert der Schreibkopf auf die aktuelle Position schreiben soll
+    \item in welche Richtung (links/rechts/stehen bleiben) sich der Schreibkopf als nächstes bewegt
+    \item was der nächste Programmzustand der Turingmaschine ist
+  \end{itemize}
+
+  Das Programm lässt sich also Beschreiben über eine Zustandsmenge $\mathcal{S}$
+  und eine Funktion
+  \[
+    \mathcal{S} \times \set{ 0,1 } \to  \set{ 0,1 } \times \set{ \text{links}, \text{rechts}, \text{stehen bleiben} } \times (\mathcal{S} \cup \set{ \operatorname{end} } )
+    ,
+  \]
+  wobei $\operatorname{end}$ beschreibt, dass das Programm terminiert hat.
+  Eine Turing-Maschine lässt sich ausgehend von einem Zustands des Speicherbands und einem Zustand $s \in \mathcal{S}$ sukzessive ausführen.
+\end{definition}
+
+Man könnte meinen, dass Turing-Maschinen nicht sehr viel können,
+allerdings gilt:
+
+\begin{proposition}[Church-Turing-These]
+  Jede Funktion auf endlichen Zeichenfolgen, die überhaupt berechenbar ist,
+  ist durch eine Turing-Maschine berechenbar.
+\end{proposition}
+
+\begin{remark}
+  Der Begriff \enquote{überhaupt berechenbar} ist hierbei natürlich mathematisch
+  unpräzise, und dementsprechend gibt es auch keinen formalen Beweis.
+  Wir meinen hiermit Funktionen, die ein idealisierter Mensch mit hinreichend viel
+  Zeit durch Ausführung eines Schemas berechnen kann.
+
+  Zum Beispiel lässt sich jede moderne Programmiersprache systematisch
+  in eine Turingmaschine übersetzen und es ist bis dato keine Funktion bekannt,
+  welche \emph{intuitiv berechenbar} ist, allerdings nicht von einer Turingmaschine.
+\end{remark}
+
+Die Church-Turing-These motiviert die folgende Definition:
+
+\begin{definition}[Berechenbarkeit]
+  Eine Funktion heißt \vocab{berechenbar}, wenn eine Turing-Maschine gibt,
+  die sie berechnet, d.h.~eine Turing-Maschine, die bei Kodierung der Eingabe
+  auf dem Band und Ausführung der Maschine stets nach endlich vielen Schritten
+  terminiert und eine korrekte Ausgabe auf das Band schreibt.
+\end{definition}
+
+
+%\[
+%  \begin{tikzpicture}
+%    \draw (-0,0) grid (10,1);
+%  \end{tikzpicture}
+%\]
+
 
 \end{document}