\item Prädikatensymbolen $P$, $Q$, $R$, alle mit fester Arität (auf wie viele Terme man das Prädikat anwendet)
\item Funktionszeichen $f$, $g$, $h$, ebenfalls jeweils mit Arität.
\item Konstantenzeichen $a$, $b$, $c$, \ldots
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}[S-Struktur]
Eine \vocab{S}-Struktur für eine Sprache $\mathcal{S}$ besteht aus
\begin{itemize}
\item einer Domäne (Menge) $M$
\item Für jedes Prädikatenzeichen von $\mathcal{S}$ eine Relation über $M$
\item Für jedes Funktionszeichen und jede Konstante von $\mathcal{S}$ eine Funktion bzw.~ein Element aus $M$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{definition}
Sei $\mathcal{S}$ eine Sprache und $\mathcal{A}$ ein Axiomensystem, d.h.~eine Menge an Formeln über $\mathcal{S}$.
Für eine Formel $\varphi$ schreiben wir $\mathcal{A}\models\varphi$,
falls aus $\mathcal{A}$\vocab{semantisch} die Formel $\varphi$ folgt,
d.h.~falls für alle $\mathcal{S}$-Strukturen, in denen $\mathcal{A}$ wahr ist,
auch $\varphi$ wahr ist.
\end{definition}
\subsection{Ableitungsregeln: Tableau-Kalkül}
\begin{definition}[Tableu-Kalkül]
Eine \vocab{Herleitung} für eine Formel $\varphi$ im \vocab{Tableau-Kalkül}
besteht immer daraus, mit der Formel $\lnot\varphi$ anzufangen
und dann durch Anwendung von Schlussregeln einen Baum zu erzeugen.
Ein Ast des Baumes gilt als \vocab{abgeschlossen}, wenn auf ihm sowohl $\psi$ als auch $\lnot\psi$ stehen, sich also ein Widerspruch ergeben hat.
Eine Herleitung von $\varphi$ ist es, alle Äste des Baumes, an dessen Wurzel $\lnot\varphi$ steht, zu schließen.
Folgende formale Regeln erlauben wir für logische Schlussfolgerungen:
\begin{itemize}
\item Steht $\lnot\lnot\varphi$ auf einem Ast, füge $\varphi$ hinzu.
\item Steht $α_1\landα_2$ auf einem Ast, füge $α_1$ und $α_2$ hinzu
\item Steht $α_1\lorα_2$ auf einem Ast, spalte in einen Ast mit $α_1$ und einen mit $α_2$
\item Steht $α_1\toα_2$ auf einem Ast, spalte in $\lnotα_1$ und $α_2$
\item Ergänze $\lnot(\varphi\to\psi)$ durch $\varphi$ und $\lnot\psi$
\item Ergänze $\lnot(\varphi\varphi\lor\psi)$ durch $\lnot\varphi$ und $\lnot\psi$
\item Spalte $\lnot(\varphi\land\psi)$ in $\lnot\varphi$ und $\lnot\psi$
\end{itemize}
Folgende Regeln sind für Quantoren erlaubt:
\begin{itemize}
\item Ergänze $\exists x \varphi$ durch $\varphi^{[ x \leftarrow a]}$ für ein neues Konstantenzeichen $a$. Hierbei steht $\varphi^{[ x \leftarrow a]}$ für die Formel, in der wir $x$ durch $a$ ersetzen
\item Ergänze $\lnot\forall x \varphi$ durch $\lnot\varphi^{[ x \leftarrow a]}$ für ein neues Konstantenzeichen $a$
\item Ergänze $\forall x \varphi$ durch $\varphi[ x \leftarrow l]$ für einen Term $t$
\item Ergänze $\lnot\exists x \varphi$ durch $\lnot\varphi^{[ x \leftarrow t]}$ für einen Term $t$
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{remark}
Man sollte sich den entstehenden Baum so vorstellen, dass man auf jedem Ast wissen sammelt. Jede neue Zeile fügt neues Wissen hinzu, man kann also jederzeit Wissen des eigenen Astes verwenden.
Wenn wir einen Ast in 2 neue Aufteilen, entspricht das einer üblichen Fallunterscheidung.
Wenn wir alle Äste schließen, haben wir alle Fälle zum Widerspruch geführt.
\end{remark}
\begin{exercise}
Man mache sich für alle obigen formalen Schlussfolgerungen Gedanken,
was diese \emph{intuitiv} sagen.
Das heißt, welches Wissen wird hier in welches neue Wissen verwandelt,
und warum macht das Sinn, bzw.~warum würden wir erwarten, dass dies eine
sinnvolle logische Schlussregel ist.
\end{exercise}
\begin{example}[Logische Folgerungen]
Wir wollen die Aussage $(\varphi\land\psi)\to\lnot(\lnot\varphi\land\lnot\psi)$ zeigen.
Das zu beweisen ist letztendlich nicht schwer. Man muss sich \enquote{nur} davon überzeugen, dass jede einzelne der syntaktischen Schlussregeln so gestaltet ist,
dass sich auch in $S$-Strukturen die entsprechenden Schritte durchführen lassen.
\end{remark}
\begin{definition}[Vollständigkeit]
Ähnlich sprechen wir von \vocab{Vollständigkeit}, wenn jede Formel,
die sich semantisch herleiten lässt, auch syntaktisch herleiten lässt,
d.h.~ wenn aus $A \models\varphi$ auch schon $A \shows\varphi$ folgt.
\end{definition}
\begin{theorem}[Gödel'scher Vollständigkeitssatz]
Das Tableau-Kalkül ist korrekt und vollständig für jede Sprache $\mathcal{S}$.
\end{theorem}
\begin{remark}
Vollständigkeit zu beweisen ist weitaus schwieriger: Wir müssen über \emph{alle}$\mathcal{S}$-Strukturen etwas aussagen, haben aber nur eine fixe Menge an syntaktischen Regeln zur Verfügung.
Ist jede \emph{endliche} Teilmenge eines Axiomensystems konsistent,
so ist auch das Axiomensystem selbst konsistent.
\end{corollary}
\begin{proof}
Sei $\mathcal{A}$ dieses System und nimm an, dass man $\mathcal{A}$ nicht interpretieren kann, ich also keine $\mathcal{S}$-Struktur finde, in der $\mathcal{A}$ gilt.
Dann gilt insbesondere $\mathcal{A}\models\bot$, wobei $\bot$ irgendeine falsche Aussage sei, denn in jeder $\mathcal{S}$-Struktur, in der $\mathcal{A}$ gilt (es gibt keine solchen), gilt ja auch $\bot$.
Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es dann auch schon eine Herleitung $\mathcal{A}\shows\bot$.
Eine Herleitung besteht allerdings aus endlich vielen Schritten,
also gibt es auch schon eine endliche Teilmenge $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$,
sodass $\mathcal{B}\shows\bot$.
Nach Korrektheit ist dann auch $\mathcal{B}\models\bot$,
also ist $\mathcal{B}$ inkonsistent, ein Widerspruch zu unserer Annahme.
