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Wir wollen uns in diesem Kapitel der Theorie von neutralen Spielen widmen.
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Die Theorie ist im wesentlichen \enquote{komplett}:
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Wir kennen bis auf Gleichheit alle neutralen Spiele und wissen,
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wie diese sich unter Addition verhalten.
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Eine andere Frage ist es natürlich, zu einem gegebenen Spiel zu entscheiden,
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welches (der bekannten) es denn nun ist.
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Diese werden wir im Allgemeinen nicht beantworten können.
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Zunächst stellen wir fest:
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\begin{proposition}
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\label{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0}
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Sei $G$ ein neutrales Spiel.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[h]
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\item $G + G = 0$, also $ G = -G$.
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\item $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Der erste Punkt folgt sofort aus der Neutralität von $G$.
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In $-G$ sind ja die Züge vertauscht. Da sie aber gleich sind, ändert sich natürlich nichts.
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$G + G = 0$ ist dann einfach eine Umformulierung dessen.
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Nimm für $2)$ an, es wäre $G < 0$.
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Addition von $G$ auf beiden Seiten liefert dann wegen $1)$, dass $0 = G + G < G$,
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ein Widerspruch zu $G < 0$.
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Analog führt natürlich $G > 0$ zum Widerspruch.
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Also folgt mit
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\autoref{thm:vergleichbarkeit-von-spielen},
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dass $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$ ist wie gewünscht.
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\end{proof}
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\section{\gm{Nim}}
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Wir haben in
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\autoref{sec:nim-einfuehrung}
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bereits die Gewinn- und Verluststellungen von \gm{Nim} analysiert.
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Eine Gewinnstellung ist in formaler Sprache eine Stellung $G$ mit $G \fuzzy 0$,
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eine Verluststellung eine mit $G = 0$.
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Weitere Möglichkeiten gibt es nach \autoref{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0} nicht.
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Aber nicht jede Gewinnstellung ist gleich!
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Wir wissen zum Beispiel, dass ein einzelner Münzstapel (mit einer positiven Anzahl an Münzen)
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immer eine Gewinnstellung ist (indem wir den Stapel einfach wegnehmen).
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Aber Stapel mit unterschiedlicher Höhe verhalten sich nicht gleich,
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wenn man sie nebeneinander stellt.
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Unter Spieladdition müssen wir also, um mehr zu verstehen, noch feiner unterscheiden als nur in
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$G = 0$ und $ G \fuzzy 0 $.
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Definiere hierzu zunächst $\nimber n$ (sprich: \enquote{nimber})
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als dasjenige Nim-Spiel, das aus einem Münzstapel mit $n$
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Münzen besteht.
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Jedes Nim-Spiel ist also also Spielsumme von einzelnen nimbers, nämlich den vorkommenden Stapeln.
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