Wir wollen uns in diesem Kapitel der Theorie von neutralen Spielen widmen.
Die Theorie ist im wesentlichen \enquote{komplett}:
Wir kennen bis auf Gleichheit alle neutralen Spiele und wissen,
wie diese sich unter Addition verhalten.

Eine andere Frage ist es natürlich, zu einem gegebenen Spiel zu entscheiden,
welches (der bekannten) es denn nun ist.
Diese werden wir im Allgemeinen nicht beantworten können.

Zunächst stellen wir fest:

\begin{proposition}
  \label{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0}
  Sei $G$ ein neutrales Spiel.
  Dann gilt:
  \begin{enumerate}[h]
    \item $G + G = 0$, also $ G = -G$.
    \item $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
  Der erste Punkt folgt sofort aus der Neutralität von $G$.
  In $-G$ sind ja die Züge vertauscht. Da sie aber gleich sind, ändert sich natürlich nichts.
  $G + G = 0$ ist dann einfach eine Umformulierung dessen.

  Nimm für $2)$ an, es wäre $G < 0$.
  Addition von $G$ auf beiden Seiten liefert dann wegen $1)$, dass $0 = G + G < G$,
  ein Widerspruch zu $G < 0$.
  Analog führt natürlich $G > 0$ zum Widerspruch.

  Also folgt mit
  \autoref{thm:vergleichbarkeit-von-spielen},
  dass $G = 0$ oder $G \fuzzy 0$ ist wie gewünscht.
\end{proof}


\section{\gm{Nim}}

Wir haben in
\autoref{sec:nim-einfuehrung}
bereits die Gewinn- und Verluststellungen von \gm{Nim} analysiert.
Eine Gewinnstellung ist in formaler Sprache eine Stellung $G$ mit $G \fuzzy 0$,
eine Verluststellung eine mit $G = 0$.
Weitere Möglichkeiten gibt es nach \autoref{prop:neutrale-spiele-fuzzy-oder-0} nicht.

Aber nicht jede Gewinnstellung ist gleich!
Wir wissen zum Beispiel, dass ein einzelner Münzstapel (mit einer positiven Anzahl an Münzen)
immer eine Gewinnstellung ist (indem wir den Stapel einfach wegnehmen).
Aber Stapel mit unterschiedlicher Höhe verhalten sich nicht gleich,
wenn man sie nebeneinander stellt.
Unter Spieladdition müssen wir also, um mehr zu verstehen, noch feiner unterscheiden als nur in
$G = 0$ und $ G \fuzzy 0 $.

Definiere hierzu zunächst $\nimber n$ (sprich: \enquote{nimber})
als dasjenige Nim-Spiel, das aus einem Münzstapel mit $n$
Münzen besteht.
Jedes Nim-Spiel ist also also Spielsumme von einzelnen nimbers, nämlich den vorkommenden Stapeln.
