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2022_Kombinatorische_Spieltheorie.tex

@@ -1,8 +1,7 @@
-\documentclass[10pt,ngerman,a4paper, fancyfoot, git]{mkessler-script}
+\documentclass[10pt,ngerman]{scrbook}
 
-\course{Kombinatorische Spieltheorie}
+\title{Kombinatorische Spieltheorie}
-\lecturer{}
+\author{Maximilian Keßler}
-\author{}
 
 \usepackage{combinatorial-game-theory}
 
@@ -14,5 +13,10 @@
 \tableofcontents
 \cleardoublepage
 
+\input{inputs/themen}
+
+\chapter{Einführung}
+\input{inputs/einleitung}
+
 
 \end{document}

combinatorial-game-theory.sty

@@ -1 +1,23 @@
 \ProvidesPackage{combinatorial-game-theory}[2022/02/10 - Style file for notes of Kombinatorische Spieltheorie]
+
+
+%General setup
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{csquotes}
+
+
+%% Custom packages
+\usepackage{mkessler-vocab}
+\usepackage{mkessler-math}
+
+%%% Environment setup
+\usepackage[number in = chapter]{fancythm}
+\NewFancyTheorem[style = thmgreenmarginandfill, group = big]{game}
+\NewFancyTheorem[style = thmvioletmargin, group = big]{talk}
+
+
+%%% Custom macros for this project
+
+\NewDocumentCommand\nimber{m}{\star#1}
+\NewDocumentCommand\nimsum{}{\oplus}
+\NewDocumentCommand\gm{m}{\textsc{#1}}

inputs/einleitung.tex

@@ -0,0 +1,213 @@
+\vocab{Kombinatorische Spieltheorie} beschäftigt sich mit einer spezifischen Sorte an Spielen.
+Etwas informell meinen wir mit \vocab{Spiel} im Folgenden immer Folgendes:
+\begin{itemize}
+  \item Es spielen zwei Parteien. Meistens heißen diese rot und blau
+  \item Die Parteien sind abwechselnd am Zug und müssen einen der für sie legalen Züge ausführen
+  \item Beide Parteien verfügen über absolutes Wissen über den Zustand und die Regeln des Spiels
+  \item Das Spiel enthält keinen Zufall
+\end{itemize}
+Aus was ein \vocab{Zug} besteht, hängt natürlich davon ab, welches Spiel gerade gespielt wird.
+Meistens verliert diejenige Partei, die zuerst nicht mehr ziehen kann.
+Das nennt man dann \vocab{Normalspiel}, es gibt aber auch andere Varianten, wie wir sehen werden.
+
+\begin{example}
+  \gm{Schach}, \gm{Go}, \gm{Dame} und \gm{Mühle} sind kombinatorische Spiele.
+
+  \gm{Uno} oder \gm{Schafkopf} sind keine kombinatorischen Spiele, denn sie enthalten Zufall.
+
+  \gm{Wer bin ich?} ist kein kombinatorisches Spiel.
+  Sieht man davon ab, dass es vermutlich schwer wäre,
+  genau zu definieren, welche Fragen mit \enquote{ja} und \enquote{nein} beantwortet werden
+  müssen, so gibt es in diesem Spiel keine absoluten Informationen für die Spieler:innen.
+\end{example}
+
+Eigentlich sollte man auch fordern, dass es kein \enquote{Unentschieden} in den Spielen gibt.
+Das kann man aber dadurch umgehen, indem wir z.B.~einfach sagen, dass bei einem klassischen
+\enquote{Unentschieden} eine vorher gewählte der beiden Parteien gewinnt.
+
+\section{Neutrale Spiele}
+
+\subsection{Subtraktionsspiel}
+
+Folgendes Spiel scheint recht verbreitet zu sein und hat eine nicht allzu schwere
+Gewinnstrategie:
+
+\begin{game}[\gm{Subtraktion}]
+  Gegeben ist eine natürliche Zahl $n$.
+  Ein Zug besteht daraus, von $n$ eine Zahl von $1$ bis $10$ abzuziehen.
+  Wer nicht mehr ziehen kann, hat verloren.
+\end{game}
+
+\begin{talk}
+  test
+\end{talk}
+
+\begin{theorem}
+  In \gm{Subtraktion} sind genau die durch $11$ teilbaren Zahlen die Verluststellungen.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Ist eine Zahl durch $11$ teilbar, so führt jeder Zug zu einer Zahl,
+  die nicht durch $11$ teilbar ist, weil $1, \dotsc, 10$ nicht durch $11$ teilbar sind.
+  Ist eine Zahl $n$ nicht durch $11$ teilbar, so ist es eine der Zahlen
+  $n-1, \dotsc, n-10$, weil unter den $11$ aufeinanderfolgenden Zahlen $n, n-1, \dotsc, n-10$
+  ja eine durch $11$ teilbar ist.
+  Es gibt also einen legalen Zug, der auf eine durch $11$ teilbare Zahl verkürzt.
+\end{proof}
+
+Man kann das ganze aber auch schwerer gestalten:
+
+\begin{game}[Variante von \gm{Subtraktion}]
+  Gegeben ist wieder eine natürliche Zahl $n$.
+  In einem Zug darf man $2$, $3$ oder $5$ von ihr subtrahieren.
+\end{game}
+
+\begin{remark}
+  Diese Aufgabe wurde mal bei einer Bundesrunde der MO gestellt,
+  allerdings weiß ich gerade nicht, welche das war.
+  Ich vermute aber, dass das Klasse 9/10 war und eher eine der einfachen Aufgaben.
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+  In dieser Variante von \gm{Subtraktion} sind genau die Zahlen $\equiv 0,1 \mod 7$
+  die Verluststellungen.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Sei $n \not \equiv 0,1 \mod 7$.
+  Dann können wir nach folgendem Schema subtrahieren, um in eine Verluststellung zu
+  überführen:
+
+  \begin{center}
+    \begin{tabular}{c | c | c | c | c | c }
+      $n \mod 7$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
+      \hline
+      Zug & 2 & 3 & 3 & 5 & 5
+    \end{tabular}
+  \end{center}
+
+  Außerdem erkennen wir gleichzeitig, dass wir stets weniger abziehen als der Siebenerrest der
+  aktuellen Zahl, also gelangen wir auch nicht unter Null und all diese angegeben Züge sind legal.
+
+  Ist umgekehrt $n \equiv 0,1 \mod 7$, so unterscheiden wir zwei Fälle:
+  Für $n=0,1$ gibt es keine legalen Züge, das sind also Verluststellungen.
+  Für alle größeren $n$ sind alle $3$ potenziellen Züge legal,
+  allerdings führen diese wegen $0 - 5 \equiv 2 \mod 7$ und $1 - 2 \equiv 6 \mod 7$
+  immer zu einem neuen Siebenerrest zwischen einschließlich $2$ und $6$,
+  also genau zu den behaupteten Verluststellungen.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}
+  
+\end{proof}
+
+\subsection{Nim}
+
+\begin{game}[Nim]
+  Gespielt wird mit einer Menge an (nicht zwingend gleich großen) Stapeln von Münzen.
+  Ein Zug besteht daraus, von einem der Stapel eine beliebige, positive Anzahl an Münzen
+  zu entfernen (potenziell alle).
+  Verloren hat, wer keinen Zug mehr ausführen kann.
+\end{game}
+
+Wir versuchen nun, für eine beliebige Position zu klären, wer den Sieg erzwingen kann.
+Hierzu benötigen wir:
+
+\begin{definition}
+  Die \vocab{Nim-Summe} von zwei natürlichen Zahlen $a$ und $b$ ist definiert als die
+  Summe ohne Übertrag der beiden Zahlen $a$ und $b$ in ihrer Binärdarstellung.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  Es ist $3 \nimsum 7 = 11_{(2)} \nimsum 111_{(2)} = 100_{(2)} = 4$.
+\end{example}
+
+\begin{fact}
+  $(\mathbb{N}, \nimsum)$ ist eine abelsche Gruppe.
+  Insbesondere ist $\nimsum$ kommutativ und assoziativ.
+\end{fact}
+
+\begin{theorem}
+  In Nim sind genau diejenigen Positionen Gewinnpositionen,
+  bei denen die Nimsumme der Anzahl der Münzen in den einzelnen Stapeln \emph{nicht}
+  Null ist.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Umgekehrt behaupten wir natürlich, dass genau diejenigen Positionen Verluststellungen
+  sind, bei denen die entsprechende Nimsumme Null \emph{ist}.
+  Wie immer zeigen wir, dass jede Verlustposition zwangsweise in eine Gewinnposition übergeht
+  und dass es in jeder Gewinnposition einen Zug gibt, der in eine Verluststellung führt.
+
+  Sei zunächst eine Verluststellung gegeben, d.h.~$a_1 \nimsum a_2 \nimsum \dotsb \nimsum a_n = 0$.
+  Ein beliebiger Zug ändert nur einen der Summanden, OBdA $a_1$ zu $a_1'$.
+  Wäre die Summe danach immer noch $0$, so würde $a_1 = a_1'$ folgen, das ist aber kein legaler Zug.
+
+  Sei nun $a_1 \nimsum \dotsb \nimsum a_n = x \neq 0$.
+  Es genügt ein $i$ zu finden mit $a_i \nimsum x < a_i$,
+  solch einen Stapel nennen wir dann \vocab{aktiv}:
+  Dann können wir vom Stapel $a_i$ so viele Münzen wegnehmen,
+  dass $a_i \nimsum x$ viele übrig bleiben.
+  Die neue Nimsumme ist dann
+  \[
+    a_1 \nimsum \dotsb (a_i \nimsum x) \dotsb a_n
+    =
+    a_1 \nimsum \dotsb a_n \nimsum x
+    =
+    x \nimsum x
+    =
+    0
+    .
+  \]
+  Hierzu betrachte die vorderste Stelle $j$ von $x$ in der Binärdarstellung.
+  Weil $x\neq 0$ ist, handelt es sich um eine $1$.
+  Es gibt dann mindestens ein $a_i$, das an Stelle $j$ ebenfalls eine $1$ hat.
+  Dann stimmt aber $x \nimsum a_i$ mit $a_i$ in allen Stellen $>j$ überein
+  und hat an Stelle $j$ eine $0$ statt einer $1$.
+  Damit ist $x \nimsum a_i < a_i$ wie gewünscht.
+\end{proof}
+
+\subsection{DIM}
+
+\begin{game}[\gm{Dim}]
+  Ein Spielzustand besteht aus einer natürlichen Zahl $n$.
+  Ein Zug besteht daraus, von $n$ einen seiner Teiler zu subtrahieren.
+  Wer auf $0$ subtrahiert, verliert.
+\end{game}
+
+\begin{remark}
+  Das ist nicht die von Conway gegebene Definition von \gm{Dim},
+  weil wir hier eigentlich die misère Konvention anwenden.
+  Wenn man wie üblich Normalform des Spiels will,
+  dürfte man durchaus auf $0$ subtrahieren und die jeweils andere Person
+  verliert, weil sie nicht mehr ziehen kann.
+  Dann ist aber trivialerweise jede Stellung außer $0$ eine Gewinnstellung
+  und das Spiel für uns (erstmal) uninteressant.
+  Wir kommen später darauf zurück.
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+  In \gm{Dim} sind genau die geraden Zahlen Gewinnstellungen.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Ungerade Zahlen haben nur ungerade Teiler.
+  Jede ungerade Stellung führt also zu einer geraden.
+  Potenziell führt diese zu Null, dann endet das Spiel entsprechend sofort.
+  In jeder geraden Stellung subtrahieren wir $1$ und gelangen zu einer ungeraden.
+  Insbesondere haben wir damit noch nicht verloren, weil $0$ gerade ist.
+\end{proof}
+
+\subsection{\gm{Prim}}
+
+\begin{game}{\gm{Prim}}
+  Eine Stellung besteht wieder aus einer natürlichen Zahl $n$.
+  In einem Zug darf man eine zu $n$ teilerfremde Zahl von $n$ subtrahieren.
+\end{game}
+
+\begin{definition}
+  Ein Spiel $G$ heißt \vocab{neutral},
+  wenn in jeder Position beide Spieler (sofern sie am Zug sind)
+  die gleichen legalen Züge haben.
+  Mit anderen Worten: Für jede Position $P = \set{ L \suchthat R } $ von $G$ ist $L = R$.
+\end{definition}

inputs/themen.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+Themen:
+
+\begin{itemize}
+  \item Nim
+  \item Hackenbush
+  \item snort? Col?
+  \item Surreale Zahlen
+  \item silver dollar game
+    \begin{itemize}
+      \item geburtstage
+    \end{itemize}
+  \item arbitrary games
+  \item sprague grundy numbers/theorem
+  \item temperature theory
+\end{itemize}
+
+Eigenschaften von games:
+\begin{itemize}
+  \item short: endlich viele zustände
+  \item tame
+\end{itemize}