abstrakte spiele. hackenbush definiert

combinatorial-game-theory.sty

@@ -4,11 +4,13 @@
 %General setup
 \usepackage[ngerman]{babel}
 \usepackage{csquotes}
+\usepackage{bm}
 
 
 %% Custom packages
 \usepackage{mkessler-vocab}
 \usepackage{mkessler-math}
+\usepackage{mkessler-enumerate}
 
 %%% Environment setup
 \usepackage[number in = chapter]{fancythm}
@@ -21,3 +23,13 @@
 \NewDocumentCommand\nimber{m}{\star#1}
 \NewDocumentCommand\nimsum{}{\oplus}
 \NewDocumentCommand\gm{m}{\textsc{#1}}
+\NewDocumentCommand\Dim{m}{\bm{#1}}
+\NewDocumentCommand\fuzzy{}{\parallel}
+
+\NewDocumentCommand\DeclareGame{m}{
+  \expandafter\NewDocumentCommand\csname #1\endcsname{}{\mathrm{#1}}
+}
+
+\DeclareGame{on}
+\DeclareGame{off}
+\DeclareGame{dud}

inputs/einleitung.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \vocab{Kombinatorische Spieltheorie} beschäftigt sich mit einer spezifischen Sorte an Spielen.
 Etwas informell meinen wir mit \vocab{Spiel} im Folgenden immer Folgendes:
+
 \begin{itemize}
   \item Es spielen zwei Parteien. Meistens heißen diese rot und blau
   \item Die Parteien sind abwechselnd am Zug und müssen einen der für sie legalen Züge ausführen
@@ -25,8 +26,16 @@ Eigentlich sollte man auch fordern, dass es kein \enquote{Unentschieden} in den
 Das kann man aber dadurch umgehen, indem wir z.B.~einfach sagen, dass bei einem klassischen
 \enquote{Unentschieden} eine vorher gewählte der beiden Parteien gewinnt.
 
+
+
+
 \section{Neutrale Spiele}
 
+\begin{talk}
+  Wir ignorieren erstmal, dass wir hier nur \vocab{neutrale Spiele} betrachten
+  und kommen später darauf zurück.
+\end{talk}
+
 \subsection{Subtraktionsspiel}
 
 Folgendes Spiel scheint recht verbreitet zu sein und hat eine nicht allzu schwere
@@ -39,7 +48,7 @@ Gewinnstrategie:
 \end{game}
 
 \begin{talk}
-  test
+  Hier das ganze mit den Schüler:innen ausprobieren und auf die Strategie kommen lassen.
 \end{talk}
 
 \begin{theorem}
@@ -62,6 +71,13 @@ Man kann das ganze aber auch schwerer gestalten:
   In einem Zug darf man $2$, $3$ oder $5$ von ihr subtrahieren.
 \end{game}
 
+\begin{talk}
+  Hier wieder viel ausprobieren lassen.
+  Dann backtracking erklären und wie man das mit Tabellen hinbekommen kann.
+  Vermutlich will man hier auch einmal die $8$-piece table von Schach als prominentes
+  Beispiel nennen.
+\end{talk}
+
 \begin{remark}
   Diese Aufgabe wurde mal bei einer Bundesrunde der MO gestellt,
   allerdings weiß ich gerade nicht, welche das war.
@@ -101,8 +117,62 @@ Man kann das ganze aber auch schwerer gestalten:
   
 \end{proof}
 
+
+\subsection{DIM}
+
+\begin{game}[\gm{Dim}]
+  Ein Spielzustand besteht aus einer natürlichen Zahl $n$.
+  Ein Zug besteht daraus, von $n$ einen seiner Teiler zu subtrahieren.
+  Wer auf $0$ subtrahiert, verliert.
+\end{game}
+
+\begin{remark}
+  Das ist nicht die von Conway gegebene Definition von \gm{Dim},
+  weil wir hier eigentlich die misère Konvention anwenden.
+  Wenn man wie üblich Normalform des Spiels will,
+  dürfte man durchaus auf $0$ subtrahieren und die jeweils andere Person
+  verliert, weil sie nicht mehr ziehen kann.
+  Dann ist aber trivialerweise jede Stellung außer $0$ eine Gewinnstellung
+  und das Spiel für uns (erstmal) uninteressant.
+  Wir kommen später darauf zurück.
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+  In \gm{Dim} sind genau die geraden Zahlen Gewinnstellungen.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Ungerade Zahlen haben nur ungerade Teiler.
+  Jede ungerade Stellung führt also zu einer geraden.
+  Potenziell führt diese zu Null, dann endet das Spiel entsprechend sofort.
+  In jeder geraden Stellung subtrahieren wir $1$ und gelangen zu einer ungeraden.
+  Insbesondere haben wir damit noch nicht verloren, weil $0$ gerade ist.
+\end{proof}
+
+\subsection{\gm{Prim}}
+
+\begin{game}{\gm{Prim}}
+  Eine Stellung besteht wieder aus einer natürlichen Zahl $n$.
+  In einem Zug darf man eine zu $n$ teilerfremde Zahl von $n$ subtrahieren.
+\end{game}
+
+\begin{theorem}
+  In \gm{Prim} sind die Gewinnstellungen genau die ungeraden Zahlen.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Wir verfahren analog wie im Fall von \gm{Dim}:
+  Ist $n$ ungerade, so können wir von $n$ einfach $1$ subtrahieren und landen
+  bei einem geraden Zustand, insbesondere hatten wir noch einen legalen Zug.
+  Ist $n$ gerade, so ist jede Zahl, die zu $n$ teilerfremd ist, ungerade
+  und jeder Zug führt somit zu einer ungeraden Zahl.
+\end{proof}
+
 \subsection{Nim}
 
+\gm{Nim} ist vermutlich eines der bekanntesten Spiele der kombinatorischen Spieltheorie.
+Auch hier wollen wir zunächst ein bisschen selber spielen und dann eine allgemeine Theorie aufbauen.
+
 \begin{game}[Nim]
   Gespielt wird mit einer Menge an (nicht zwingend gleich großen) Stapeln von Münzen.
   Ein Zug besteht daraus, von einem der Stapel eine beliebige, positive Anzahl an Münzen
@@ -167,43 +237,87 @@ Hierzu benötigen wir:
   Damit ist $x \nimsum a_i < a_i$ wie gewünscht.
 \end{proof}
 
-\subsection{DIM}
+\section{Hackenbush}
 
-\begin{game}[\gm{Dim}]
+Wir wollen hier ein Spiel betrachten, das nicht mehr neutral ist.
-  Ein Spielzustand besteht aus einer natürlichen Zahl $n$.
+
-  Ein Zug besteht daraus, von $n$ einen seiner Teiler zu subtrahieren.
+\begin{game}[\gm{Hackenbush (beherrscht)}]
-  Wer auf $0$ subtrahiert, verliert.
+  Gespielt wird mit einer Anordnung von \vocab{Stäben} (Kanten),
+  die an ihren Enden miteinander verbunden sein können.
+  Jeder Stab ist (direkt oder indirekt) mit dem \vocab{Boden} verbunden und trägt
+  eine der Farben rot und blau (korrespondierend zu den beiden Spielerinnen).
+  Ein Zug besteht darin, eine Kante der eigenen Farbe zu entfernen.
+  Alle Kanten, die danach nicht mehr mit dem Boden verbunden sind, werden ebenfalls entfernt.
+  Wie immer verliert diejenige, die nicht mehr ziehen kann.
 \end{game}
 
+\begin{talk}
+  Hier einige erste Positionen diskutieren und natürliche Zahlen motivieren.
+\end{talk}
+
+
+
+\section{Abstrakte Spiele}
+
+\begin{definition}
+  Ein \vocab{Spiel} $G$ besteht aus einer Menge von Positionen
+  und einer ausgezeichneten Startposition.
+  Jeder Position $P$ des Spiels sind seine \vocab{linken Züge} und seine
+  \vocab{rechten Züge} zugeordnet, die ebenfalls Positionen von $G$ sind.
+  $2$ Spielerinnen sind abwechselnd an der Reihe und führen einen für sie legalen Zug aus
+  und überführen damit das Spiel in eine neue Position.
+  Mit der \vocab{Normalspielkonvention} sagen wir,
+  dass eine Spielerin verloren hat, wenn sie keinen legalen Zug mehr hat.
+\end{definition}
+
 \begin{remark}
-  Das ist nicht die von Conway gegebene Definition von \gm{Dim},
+  Natürlich können wir aus jeder Position $P$ eines Spiels $G$ einfach ein (sehr ähnliches)
-  weil wir hier eigentlich die misère Konvention anwenden.
+  Spiel $G'$ machen, indem $G'$ in $P$ startet und nur noch die Positionen von $G$ enthält,
-  Wenn man wie üblich Normalform des Spiels will,
+  die man von $P'$ aus \enquote{erreichen} kann.
-  dürfte man durchaus auf $0$ subtrahieren und die jeweils andere Person
+
-  verliert, weil sie nicht mehr ziehen kann.
+  Deswegen werden wir meistens auch Spiele und Positionen einfach gleich behandeln.
-  Dann ist aber trivialerweise jede Stellung außer $0$ eine Gewinnstellung
+  Es sollte jedoch darauf Wert gelegt werden, dass die bloße Angabe von \gm{Prim} noch \emph{nicht}
-  und das Spiel für uns (erstmal) uninteressant.
+  ein Spiel darstellt, weil wir keine Startposition haben.
-  Wir kommen später darauf zurück.
+  Eigentlich handelt es sich hier um eine Menge von Spielen, die über die jeweilige Startposition
+  charakterisiert werden.
+
+  Umgangssprachlich werden wir aber natürlich auch weiterhin sagen, dass \gm{Prim} ein Spiel ist.
 \end{remark}
 
-\begin{theorem}
+\begin{notation}
-  In \gm{Dim} sind genau die geraden Zahlen Gewinnstellungen.
+  Für eine Position $P$ schreiben wir $P = \set{ L_1, L_2, \dotsc \suchthat R_2, R_2, \dotsc } $,
-\end{theorem}
+  wenn die $L_i$ die Menge der linken Züge von $P$ und die $R_i$ die Menge der rechten
+  Positionen von $P$ aufzählen.
+  Oft schreiben wir auch $P = \set{ P^L \suchthat P^R } $ und meinen dann mit $P^L$ und $P^R$
+  wahlweise alle entsprechenden Züge oder einen \enquote{generischen} Zug für die entsprechende
+  Spielerin.
+\end{notation}
 
-\begin{proof}
+\begin{remark}[Mengentheorie]
-  Ungerade Zahlen haben nur ungerade Teiler.
+  Wir wollen hier nicht zu genau mit den Begriffen Menge und Klasse umgehen,
-  Jede ungerade Stellung führt also zu einer geraden.
+  weil diese meist nicht relevant für uns sind.
-  Potenziell führt diese zu Null, dann endet das Spiel entsprechend sofort.
+  Eigentlich könnte man erlauben, dass ein Spiel aus einer \emph{Klasse} von Positionen
-  In jeder geraden Stellung subtrahieren wir $1$ und gelangen zu einer ungeraden.
+  besteht, jede Position aber tatsächlich \emph{Mengen} an linken und rechten Positionen
-  Insbesondere haben wir damit noch nicht verloren, weil $0$ gerade ist.
+  hat.
-\end{proof}
 
-\subsection{\gm{Prim}}
+  Für die Notation $P = \set{ L_1, L_2, \dots \suchthat R_1, \dotsc } $ muss man natürlich
+  i.A.~dann auch eine beliebige Indexmenge für die Aufzählen zulassen, weil die Menge
+  der linken Züge natürlich keineswegs abzählbar sein muss.
+  Auch das ist aber für uns erstmal irrelevant.
+\end{remark}
 
-\begin{game}{\gm{Prim}}
+\begin{example}
-  Eine Stellung besteht wieder aus einer natürlichen Zahl $n$.
+  Betrachten wir \gm{Dim} und bezeichnen die Spielzustände mit Zahlen $\Dim{n}$.
-  In einem Zug darf man eine zu $n$ teilerfremde Zahl von $n$ subtrahieren.
+  Dann ist z.B.
-\end{game}
+  $\Dim{0} = \set{ \suchthat } $,
+  $\Dim 1 = \set{\suchthat } $,
+  $\Dim 2 = \set{ \Dim 1 \suchthat \Dim 1 } $,
+  $\Dim 3 = \set{ \Dim 2 \suchthat  \Dim 2 } $,
+  $\Dim 4 = \set{ \Dim 2, \Dim 3 \suchthat \Dim 2, \Dim 3 } $,
+  $\Dim 5 = \set{ \Dim 4 \suchthat \Dim 4 } $,
+\end{example}
+
+Hierbei stellen wir folgendes fest:
 
 \begin{definition}
   Ein Spiel $G$ heißt \vocab{neutral},
@@ -211,3 +325,62 @@ Hierzu benötigen wir:
   die gleichen legalen Züge haben.
   Mit anderen Worten: Für jede Position $P = \set{ L \suchthat R } $ von $G$ ist $L = R$.
 \end{definition}
+
+\begin{example}
+  \gm{Subtraktion}, \gm{Dim}, \gm{Prim} und \gm{Nim} sind neutrale Spiele.
+\end{example}
+
+\begin{notation}
+  Ist $G$ ein neutrales Spiel, so schreiben wir für Positionen $P$ von $G$ im Folgenden nur noch
+  $P = \set{ Z_1, Z_2, \dotsc } $ und unterscheiden nicht zwischen $P^L$ und $P^R$.
+\end{notation}
+
+Wir wollen nun erste Schritte unternehmen, um Spiele ganz \emph{formal} zu klassifizieren:
+
+\begin{definition}
+  Sei $G$ ein Spiel. Dann sagen wir, dass
+  \begin{enumerate}[p]
+    \item $G$ \vocab{positiv} ist, wenn die linke Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
+      Wir schreiben hierbei $G>0$.
+    \item $G$ \vocab{negativ} ist, wenn die rechte Spielerin eine Gewinnstrategie hat.
+      Wir schreiben $G<0$.
+    \item $G$ \vocab{Null} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die zweite Spielerin gibt.
+      Wir schreiben $G=0$.
+    \item $G$ \vocab{fuzzy} ist, wenn es eine Gewinnstrategie für die erste Spielerin gibt.
+      Wir schreiben $G \fuzzy 0$.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Relevant ist nun Folgendes:
+
+\begin{theorem}
+  Für jedes Spiel $G$ gilt genau eines von $G>0$, $G<0$, $G = 0$ und $G \fuzzy 0$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Klarerweise können nicht zwei der vier Fälle gleichzeitig eintreten.
+  Wir gehen induktiv vor, sei $G$ also ein Spiel,
+  sodass wir die Aussage für alle linken und rechten Position von $G$ bereits kennen.
+\end{proof}
+
+\begin{talk}
+  Hier etwas darüber sagen, dass wir hier mengentheoretisch etwas gehackt haben,
+  dass das eigentlich formal transfinite Induktion ist, was wir hier brauchen,
+  und dass man etwas vorsichtig sein muss, was das definieren von Spielen angeht,
+  weil wir eigentlich darüber reden müssen, dass wir alle Spiele über ihre Geburtstage
+  \enquote{generieren}, oder zumindest, wie wir gedenken, die Rekursion aus der Definition
+  ein bisschen wegzubekommen.
+
+  Spezifisch sollte über die folgenden Spiele geredet werden:
+  \[
+    \on \coloneqq \set{ \on \suchthat },
+    \qquad
+    \off \coloneqq \set{ \suchthat \off },
+    \qquad
+    \dud \coloneqq \on + \off = \set{ \dud \suchthat \dud } 
+  \] 
+  Hierbei steht \enquote{$\dud$} für \enquote{deathless universal draw}.
+\end{talk}
+
+
+\subsection{Addition von Spielen}