\begin{definition}
    Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien, und $F:
    \mathcat{A}\to
    \mathcat{B}$ sowie $G:\mathcat{A}\to
    \mathcat{B}$ zwei Funktoren zwischen
    diesen.
    Eine \textit{natürliche Transoformation} $α: F \to G$ ist eine Familie $α_A :
    F(A) \to G(A) $ für jedes $A\in \mathcat{A}$, genannt
    \textit{Komponente} von
    $α$ (an  $A$), sodass für jede Abbildung  $f:A\to A'$ das folgende Diagramm
    kommutiert:

    \begin{center}
        \begin{tikzcd}
            F(A) \ar{r}{F(f)} \ar[swap]{d}{α_A} &
            F(A') \ar{d}{α_{A'}} \\ G(A) \ar[swap]{r}{G(f)} & G(A')
        \end{tikzcd}
    \end{center} 

    Wir wollen also, dass wir auf \textbf{eindeutige Weise} wissen,
    wie wir von $F(A)$ zu  $G(A')$ gelangen (wenn wir wissen, wie wir von  $A$ zu
    $A'$ gelangen).
\end{definition}

\begin{remark}
    Die $α_A$ sind natürlich Morphismen, die Teil der Kategorie
    $\mathcat{B}$ sind.
    \\ Wir notieren das ganze auch wie folgt:
    \begin{center}
        \begin{tikzcd}
            \mathcat{A} \ar[bend left = 50, ""{name=U,below}] {r}{F} \ar[bend right =  50, swap, ""{name = D}]{r}{G}& \mathcat{B}
            \arrow[from = U, to =D, Rightarrow,yshift=1.5]{}{α}
        \end{tikzcd}
    \end{center}
    und meinen, dass $α$ eine natürliche Trasformation der Funktioren  $F,G:
    \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ ist.
\end{remark}


\begin{example}
    \begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
        \item
              Wir wollen sehen, dass die 'Determinante' als natürliche Transformation
              aufgefasst werden kann.
              Zunächst konstruieren wir zwei Funktoren $\textbf{CRing} \to
              \textbf{Monoid}$.
              \\
              Für jeden Ring bilden die $n\times n$-Matrizen über diesem Ring einen Monoiden
              unter der Multiplikation.
              Ist zudem $F:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so können wir diesen zu einem
              Morphismus $M_n(R) \to	     M_n(S)$ erweitern, indem wir elementweise
              abbilden.
              Die Funktoreigenschaften überprüft man leicht, wir erhalten also einen Funktor
              $M_n: \textbf{CRing} \to  \textbf{Mon}$.
              \\
              Zudem betrachten wir den vergesslichen Funktor $U: \textbf{CRing} \to
              \textbf{Mon}$, der einfach die Additive Struktur vergisst und somit
              aus einem Ring seinen multiplikativen Monoid zurückgibt.
              Dies definiert also $U: \textbf{CRing} \to  \textbf{Set}$.
              \\
              Um nun eine nätürliche Transformation $α:M_n \to F$ anzugeben, müssen wir für
              jeden Ring $R$ ein  $α_R: M_n(R) \to U(R)$ angeben, wir wählen die
              Determinantenabbildung, die einer Matrix ihre Determinante zuordnet.
              Dies ist eine Abbildung in \textbf{Mon}, da die Determinante
              multiplikativ ist.
              \\
              Dass es sich um eine natürliche Transformation handelt, bedeutet genau, dass
              folgendes kommutiert:
              \begin{center}
                  \begin{tikzcd}
                      M_n(R) \ar[swap]{d}{\det} \ar{r}{M_n(f)} & M_n(S) \ar{d}{\det} \\ U(R)
                      \ar[swap]{r}{U(f)} & U(S)
                  \end{tikzcd} 

              \end{center} 

              und wiederspiegelt, dass
              die Abbildung $\det $ für jeden Ring gleich definiert ist, formal steckt
              folgende Identität dahinter:
              \[
                  f\left(\sum_{σ\in \mathfrak{S}_n}	\sgn σ \cdot
                  \prod_{i=1}^{n} x_{i,ο(i)} \right)   = \sum_{σ\in \mathfrak{S}_n}  \sgn \sigma
                  \cdot \prod_{i=1}^{n} f(x_{i,ο(i)}) .
              \]
              was daraus folgt, dass $f$ Ringhomomorphismus ist. \\
              Man spricht also davon, dass die Transformation 'natürlich ist', weil sie
              'gleich' für alle Objekte definiert ist, und man nicht nur jedes $F(A)$
              'irgendwie' in ein  $G(A)$ überführt.
        \item
              Wir wissen bereits, dass für eine Gruppe $G$ und ihre zugehörende Kategorie
              $\mathcat{G}$ ein Funktor  $S: \mathcat{G}\to
              \textbf{Set}$ eine Gruppenwirkung ist.
              Sei $T:\mathcat{G}\to \textbf{Set}$ ein weiterer solcher
              Funktor.
              Was ist eine natürliche Transformation

              \begin{center}
                  \begin{tikzcd}
                      \mathcat{G} \arrow[bend left = 50, ""{name=U, below}]{r}{S} \ar[bend right =
                      50, ""{name = D},swap]{r}{T} & \textbf{Set} \arrow[from = U, to = D,
                          Rightarrow, yshift = 1.5]{}{α}
                  \end{tikzcd} 

              \end{center}

              Es handelt sich um
              eine einzige Abbildung $α:S(\star) \to	     T(\star)$, sodass für jede
              Abbildung $g\in \mathcat{G}$ gilt:
              \[
                  α \circ S(g) = T(g) \circ  α .
              \]
              (als Abbildung $S(\star) \to T(\star)$), man spricht von einer
              $G$-äquivarianten Abbildung, d.h. sie preserviert die Gruppenwirkung.
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{lemma}
    Man kann natürlich Transformationen verknüpfen, d.h.
    sind $F,G,H : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ Funktoren und
    ist $α:F\to G$ sowie $β:G\to H$ eine natürliche Transformation, so gibt es eine
    Transformation $β\circ α: F \to  H$, die wir durch
    \[
        (β\circ α)_{A} = β_A \circ α_A
        .
    \]
    definieren.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Wir überprüfen, dass die Naturalität gegeben ist, hierzu zeichnen wir für
    $f:A\to A'$ das Diagramm

    \begin{center}
        \begin{tikzcd}
            F(A) \ar{r}{F(f)}
            \ar[swap]{d}{α_A}\ar[bend right = 70,swap]{dd}{(β\circ α)_A} &
            F(A')\ar{d}{α_{A'}} \ar[ bend left = 70]{dd}{(β\circ α)_{A'}}\\ G(A)
            \ar{r}{G(f)} \ar[swap]{d}{β_A} & G(A') \ar{d}{β_{A'}} \\ H(A) \ar{r}{H(f)} &
            H(A')
        \end{tikzcd} 

    \end{center} 

    Da die obere und untere Hälfte jeweils
    kommutieren, kommutiert auch das gesamte Diagramm und es ist $β\circ α$ eine
    natürliche Transformation.
\end{proof}
\begin{definition}
    Für zwei Kategorien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ können wir
    die
    \textit{Funktor-Kategorie} $[\mathcat{A},\mathcat{B}]$ definieren, die
    Objekte
    bestehen aus den Funktoren $F:\mathcat{A}\to
    \mathcat{B}$, die Morphismen
    zwischen Objekten $F,G$ sind natürliche Transformationen $α: F \to  G$zwischen
    ihnen.
\end{definition}
\begin{example}
    Sei $\mathcat{G}$ eine Gruppe.
    Die Funktorkategorie $[\mathcat{G}, \textbf{Set}]$ ist die Kategorie
    aller
    linken $G$-Mengen, zusammen mit den G-equivarianten Abbildungen zwischen diesen
    Mengen.
\end{example}