Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen.
Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit
Struktur, z.B.
Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach
Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie
\textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten,
d.h.
ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den
einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine
Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen)
zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben.
Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern
vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so
    besonders?
} oder auch
\textit{Welche (tollen)
    Eigenschaften hat dieses Objekt}.
Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten.
\\
Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann
sind zwei Objekte identisch, wann gleich?
Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen
oder ganze Kategorien beantworten.
Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B.
die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge
ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht
\textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie
\textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter
Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte
wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch
formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.
