Jedesmal, wenn wir in der Kategorie Strukturen untersuchen, untersuchen wir die
Abbildungen zwischen ihnen, dies können wir auch im Falle von Kategorien.

\begin{definition}
    Seien $\mathcat{A},\mathcat{B}$ zwei Kategorien.
    Ein Funktor $F: \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ besteht aus
    \begin{itemize}
        \item
              Einer Funktion $F: \Ob(\mathcat{A}) \to  \Ob(\mathcat{B})$
        \item
              Für jedes
              $A,B\in \mathcat{A}$ eine Abbildung $F: \mathcat{A}(A,B) \to
              \mathcat{B}(F(A),F(B))$
    \end{itemize} 

    sodass gilt:

    \begin{itemize}
        \item
              Für
              $A\in \mathcat{A}$ ist $F(1_A) = 1_{F(A)}$, d.h.
              Identitäten werden auf Identitäten abgebildet.
        \item
              $F$ respektiert Komposition, d.h.  $F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)$.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{example}
    \begin{enumerate}[label=\protect\circled{\arabic*}]
        \item
              Die einfachsten Beispiele von Funktoren sind 'vergessliche' Funktoren.
              Z.B.
              können wir einen Funktor $F: \textbf{Grp} \to	\textbf{Set}$
              definieren, indem wir eine Gruppe auf ihre zugehörige Menge schicken, und einen
              Gruppenhomomorphismus auf die zugehörige Abbildung von Mengen.
              Wir 'vergessen' also, dass es sich bei unseren Objekten um Gruppen handelt, und
              dass die Abbildungen diese Gruppenstrukturen erhalten.
              \\
              Analog finden wir z.
              B.
              Funktoren $\textbf{CRing} \to  \textbf{Grp}$ oder
              $\textbf{Vect}_K \to
              \textbf{Set}$  \\
        \item
              Sei $G$ eine Gruppe, bzw.
              $\mathcat{G}$ die zugehörige Kategorie.
              Was ist ein Funktor $F : \mathcat{G} \to  \textbf{Set}$ ?
              (Eine Gruppenwirkung).
        \item
              Seien $G,H$ Gruppen, dargestellt als Kategorien.
              Dann ist ein Funktior  $\mathcat{G}\to \mathcat{H}$
              nichts anderes als ein
              Gruppenhomomorphismus $F: G\to H$
        \item
              Funktoren $F: \mathcat{P}\to
              \mathcat{Q}$ von partiell geordneten Mengen (bzw.
              deren Kategorien) sind Ordnungserhaltende Abbildungen.
    \end{enumerate}
\end{example}

Kommen wir nun zu ein paar tollen Eigenschaften von Funktoren:

\begin{theorem}
    Funktoren bilden isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte ab.
\end{theorem}

\begin{lemma}
    Funktoren lassen sich verknüpfen, d.h.
    sind $G : \mathcat{A}\to \mathcat{B}$ und $F:
    \mathcat{B}\to \mathcat{C}$ Funktoren, so gibt es einen
    Funktior $F \circ  G : \mathcat{A} \to  \mathcat{C}$, der
    wie folgt definiert ist:
    \begin{itemize}
        \item
              Für $A \in \Ob(\mathcat{A})$ ist $F\circ G(A) = F(G(A)) \in
              \Ob(\mathcat{C})$
        \item
              Für $f: A \to  B$ ist $F\circ G ( f) = F (G( f)) \in \Hom(F\circ G(A), F\circ
              G(B))$
    \end{itemize}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Leichtes Überprüfen der Funktoreigenschaften.
\end{proof}

\begin{remark}
    Damit sind vergessliche Funktoren alles andere als 'trivial' oder 'nutzlos'.
    Z.b.
    erhalten wir, dass isomorphe Gruppen insbesondere als Menge isomorph sind. \\
    In der Theorie von endlichen Körpern ist ein entscheidender Schritt im Beweis,
    dass jeder Körper Mächtigkeit $p^r$ für  $p$ prim hat, dass $K$ ein Vektorraum,
    hier nutzen wir also einen Funktor von der Kategorie der Körper mit gleichem
    Primkörper in die Kategorie der Vektorräume über diesen Körper.
\end{remark}

\begin{example}
    Es gibt auch 'freie' Funktoren, die Struktur 'frei' hinzufügen, also z.B.
    $F : \textbf{Set} \to  \textbf{Grp}$, wobei wir einer Menge
    die freie Gruppe über ihren Elementen zuordnen (was mit Abbildungen geschieht,
    ist sehr naheliegend). \\
    Die Abbildung $F: \textbf{Set} \to  \textbf{Grp}$, die
    jeder Menge ihre freie Gruppe zuordnet, und für jede Abbildung $f: X \to  Y$ in
    \textbf{Set} die über die universelle Eigenschaft von $G$ eindeutig
    bestimmte Abbildung zu	$F \circ f : X \to  F(Y)$ zuordnet, ist ein 'freier'
    Funktor:
    \begin{center}
        \begin{tikzcd}
            X \ar{rr}{F} \ar{d}{f} \ar{drr}{F \circ f}  & &  F(X)  \ar[dotted]{d}{F(f)}\\
            Y \ar[swap]{rr}{F} &  & F(Y)
        \end{tikzcd}
    \end{center}
\end{example}

