\begin{abstract}
    Wir wollen uns in diesem Kurs mit der \textit{Kategorientheorie} beschäftigen.
    Die Idee der Kategorientheorie ist es, mathematische Objekte (oftmals mit
    Struktur, z.B.
    Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, topologische Räume, aber auch einfach
    Mengen) nicht 'selbst' zu untersuchen, sondern zu untersuchen, wie
    \textit{alle} dieser 'Klasse' von Objekten sich zueinander verhalten,
    d.h.
    ausschließlich die (strukturerhaltenden) \textit{Abbildungen} zwischen den
    einzelnen Objekten zu untersuchen. \\
    Einerseits führt uns dies zu sogenannten \textit{Universellen Eigenschaften}, eine
    Möglichkeit, Objekte ausschließlich durch ihre Verbindung (sprich: Abbildungen)
    zu anderen Objekten zu charakterisieren, ohne sie selbst konstruktiv anzugeben.
    Dies erlaubt es, weniger darüber nachzudenken, was das Objekt 'ist', sondern
    vielmehr die Frage zu beantworten: \textit{Was macht dieses Objekt so
        besonders?
    } oder auch
    \textit{Welche (tollen)
        Eigenschaften hat dieses Objekt}.
    Dies ermöglicht oft einen intuitiveren Zugang zu recht abstrakten Objekten.
    \\
    Zudem werden uns mit der Semantik von \textit{Gleichheit} beschäftigen: Wann
    sind zwei Objekte identisch, wann gleich?
    Diese Frage werden wir auch für Abbildungen, sogar Abbildungen von Abbildungen
    oder ganze Kategorien beantworten.
    Damit können wir schlussendlich verstehen, warum z.B.
    die Menge aller Totalordnungen auf einer endlichen Menge isomorph ist zur Menge
    ihrer Permutationen ist, dieser Isomorphismus allerdings nicht
    \textit{kanonisch} oder in der Sprache der Kategorientheorie
    \textit{natürlich} ist, wohingegen ein Vektorraum und sein doppelter
    Dualraum auf völlig natürliche Weise isomorph sind. \\
    Außerdem werden wir sehen, dass sich viele in der Mathematik gängige Konzepte
    wie Monoide, Gruppen oder auch Gruppenwirkungen elegant kategorientheoretisch
    formulieren lassen, um so eine andere Sichtweise auf diese zu erlangen.
\end{abstract}