\begin{definition}
    Ein \textit{Graph} ist ein Paar (V,E) von Ecken (Vertices) und Kanten
    (Edges),
    wobei Kanten zwischen zwei Ecken verlaufen.
\end{definition}

\begin{definition}
    Ein Graph heißt \textit{bipartit}, wenn wir $V = V_1 \sqcup V_2$ als
    disjunkte
    Vereinigung zweier Knotenmengen schreiben können, sodass die Teilgraphen auf
    $V_1$ und $V_2$ jeweils keine Kanten besitzen.
\end{definition}

\begin{definition}
    Ein Weg in einem Graphen $G=(V,E)$ ist eine Folge von Knoten  $V_1,\ldots,V_n$
    sodass es für $1\leq i\leq n-1$ jeweils eine Kante zwischen $V_i$ und
    $V_{i+1}$ gibt.
    Ein Weg mit $V_1=V_n$ heißt auch  \textit{Kreis}.
\end{definition}

\begin{definition}
    Ein Graph ist zusammenhängend, wenn es für je zwei Knoten $v_1,v_2$ einen Weg
    von $v_1$ nach $v_2$ gibt.
    Für einen Knoten $v\in V$ ist die Zusammenhangskomponenten von $v$ die Menge
    aller Knoten, die von  $v$ durch Wege erreichbar sind.
    Jeder Graph zerfällt auf diese Weise in Zusammenhangskomponenten.
\end{definition}

\begin{lemma}
    Ein Graph ist bipartit, genau dann, wenn er keine Zyklen ungerader Länge
    enthält.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Ist der Graph bipartit und sei ein Zyklus gegeben, so wechseln wir mit jeder
    Kante die 'Hälfte', wir können also nur nach gerade vielen Kanten wieder am
    Ausgangspunkt sein, und somit ist jeder Zyklus gerade.
    \\
    Sei nun $G$ ein Graph, der nur gerade Zyklen enthält.
    OBdA sei $G$ zusammenhängend, wir wählen $v_0$ und setzen  $v_0 \in A$.
    Für einen Knoten $v$ betrachte einen Weg von  $v_0$ nach $v$, hat dieser gerade
    Länge, definiren  $v\in A$, hat dieser ungerade Länge, definiere $v\in B$.
    Dies ist wohldefiniert, da sonst weg von $v_0$ nach $v$ mit ungerader und
    gerader Parität existiert, also zusammen ungerader Zyklus.
    Damit sind die Teilmengen  $A,B$ definiert.
    Angenommen, es gibt nun eine Kante in  $A$ von $v_1$ nach $v_2$, so betrachte
    Wege von  $v_0$ nach $v_1,v_2$ mit jeweils gerader Länge, dann ist aber
    $v_0\ldots v_1 - v_2 \ldots v_0$ ungerader Zyklus.
    Analoge Argumentation für $B$.
    Also ist der Graph mit den konstruierten Mengen  $A,B$ bipartit.
\end{proof}
